שלמות המספרים הממשיים

שלמות היא תכונה של שדה המספרים הממשיים שמשמעותה, באופן אינטואיטיבי, שאין "חורים" ("פערים", בטרמינולוגיה של דדקינד) או "נקודות חסרות" בציר הממשי. תכונה זו עומדת של הממשיים עומדת בניגוד למספרים הרציונליים, שבציר המספרים שלהם יש "פער" בכל ערך מספר אי-רציונלי. בשיטה העשרונית, שלמות שקולה לאמירה שכל מחרוזת אינסופית של ספרות עשרוניות היא למעשה ייצוג עשרוני של מספר ממשי כלשהו.

בהתאם לבניית המספרים הממשיים בה נעשה שימוש, שלמות יכולה להיות אקסיומה (אקסיומת השלמות), או להיות משפט המוכח מהבנייה. ישנן צורות רבות של שלמות, הבולטות שבהן הן שלמות דדקינד (שלמות במובן חסמים) ושלמות קושי (שלמות במובן סדרות, כמרחב מטרי שלם). בהתאם לתכונות האחרות שמונחות, שלמות דדקינד ושלמות קושי עשויות להיות שקולות, או ששלמות דדקינד עשויה להיות תכונה חזקה יותר משלמות קושי.

צורות של שלמות

ניתן לבנות את המספרים הממשיים כשדה סדור המקיים גרסה כלשהי של אקסיומת השלמות. גרסאות שונות של אקסיומה זו כולן שקולות במובן שכל שדה סדור המקיים צורה אחת של שלמות מקיים את כולן, מלבד שלמות קושי ומשפט הקטעים המקוננים, שהם חלשים יותר (קיימים (אנ') שדות סדורים וקושי-שלמים שאינם מקיימים את תכונת ארכימדס). כאשר המספרים הממשיים בנויים באמצעות מודל, השלמות הופכת למשפט או לאוסף של משפטים.

תכונת הסופרמום

תכונת הסופרמום קובעת שלכל תת-קבוצה לא-ריקה חסומה מלעיל של מספרים ממשיים קיים חסם עליון קטן ביותר (סופרמום) בקבוצת המספרים הממשיים.

שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ לא מקיים את תכונת הסופרמום. דוגמה לכך היא תת-הקבוצה של המספרים הרציונליים $S=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$ . לקבוצה זו יש חסם עליון, אך לה חסם עליון קטן ביותר ב- $\mathbb {Q}$ : הגבול העליון הקטן ביותר כתת-קבוצה של המספרים הממשיים יהיה ${\sqrt {2}}$ , אך הוא אינו קיים ב- $\mathbb {Q}$ . לכל חסם עליון $x\in \mathbb {Q}$ קיים חסם עליון נוסף $y\in \mathbb {Q}$ כך ש- $y<x$ .

שלמות דדקינד

שלמות דדקינד היא תכונה שקובעת שכל חתך דדקינד של המספרים הממשיים נוצר על ידי מספר ממשי. בבניית המספרים הממשיים, זוהי גרסת השלמות הנכללת לרוב כאקסיומה.

שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ אינו דדקינד-שלם. דוגמה לכך היא חתך דדקינד $L=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\leq 2\vee x<0\}$ , $R=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}\geq 2\wedge x>0\}$ . ל- $L$ אין מקסימום ול- $R$ אין מינימום, כך שחיתוך זה אינו נוצר על ידי מספר רציונלי.

ישנה בנייה של המספרים הממשיים המבוססת על הרעיון של שימוש בחתכי דדקינד של מספרים רציונליים כדי להגדיר את המספרים ממשיים; לדוגמה, החתך $(L,R)$ כפי שתואר למעלה היה מגדיר את ${\sqrt {2}}$ . אם היינו חוזרים על בניית המספרים הממשיים עם חתכי דדקינד החדשים (כלומר, "סוגרים" את קבוצת המספרים הממשיים על ידי הוספת כל חתכי דדקינד האפשריים), לא היו מקבלים מספרים נוספים מכיוון שהמספרים הממשיים כבר דדקינד-שלמים.

שלמות קושי

שלמות קושי קובעת שכל סדרת קושי^[א] של מספרים ממשיים מתכנסת למספר ממשי.

שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ אינו קושי-שלם. דוגמה לכך היא סדרת המספרים הרציונליים $3,\quad 3.1,\quad 3.14,\quad 3.141,\quad 3.1415,\quad \ldots$ . בסדרה זו האיבר ה- $n$ הוא הקירוב העשרוני ה- $n$ של פאי.

זוהי סדרת קושי של מספרים רציונליים, אך היא אינה מתכנסת לאף מספר רציונלי (בממשיים היא מתכנסת לפאי, שאינו רציונלי).

שלמות קושי קשורה לבניית המספרים הממשיים באמצעות סדרות קושי, המגדירה מספר ממשי כגבול של סדרת קושי של מספרים רציונליים.

באנליזה מתמטית ניתן להכליל את שלמות קושי למושג שלמות עבור כל מרחב מטרי (ראו מרחב מטרי שלם).

עבור שדה סדור, שלמות קושי חלשה יותר מצורות השלמות האחרות המוצגות בערך זה, אך יחד עם תכונת ארכימדס היא שקולה להן.

משפט הקטעים המקוננים

משפט הקטעים המקוננים הוא צורה נוספת של שלמות:

תהא $I_{n}=[a_{n},b_{n}]$ סדרה של קטעים סגורים שאינם ריקים, כך שלכל כל $n\in \mathbb {N}$ , $I_{n+1}\subseteq I_{n}$ . יתר על כן, נניח ש- $b_{n}-a_{n}\rightarrow 0$ כאשר $n\rightarrow \infty$ . אזי החיתוך של כל הקטעים $I_{n}$ מכיל בדיוק נקודה אחת. המקרה הפרטי של המשפט הוא הלמה של קנטור.

עבור כל שדה סדור $F$ , כמו שדה המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$ , נוכל להגדיר קטע $[a,b]$ להיות $[a,b]_{F}=\{x\in F\ |\ a\leq x\leq b\}$ ולבחון האם ההכללה של משפט הקטעים המקוננים מתקיימת עבורו. התשובה היא לא – למשל הסדרה הבאה, שאיבריה נגזרים מספרות פאי:

[3,4]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.1,3.2]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.14,3.15]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;[3.141,3.142]_{\mathbb {Q} }\;\supset \;\cdots

היא סדרת קטעים רציונליים מקוננים שהחיתוך שלהם ריק (בממשיים החיתוך של הקטעים הללו היה מכיל רק את פאי).

למשפט הקטעים המקוננים מעמד לוגי זהה לשלמות קושי, כלומר גם הוא חלש יותר מהצורות האחרות של השלמות אך שקול להן בתוספת תכונת ארכימדס.

משפט ההתכנסות המונוטונית

משפט ההתכנסות המונוטונית קובע שכל סדרה חסומה מונוטונית של מספרים ממשיים מתכנסת. ניתן לראות משפט זה כמקרה פרטי של תכונת הסופרמום, אך ניתן להשתמש בו גם באופן ישיר כדי להוכיח את שלמות קושי של המספרים הממשיים.

משפט בולצאנו-ויירשטראס

משפט בולצאנו-ויירשטראס קובע שלכל סדרה חסומה של מספרים ממשיים יש תת-סדרה מתכנסת. משפט זה שקול גם הוא לצורות השלמות האחרות שצוינו.

משפט ערך הביניים

משפט ערך הביניים קובע שלכל פונקציה רציפה בעלת ערכים הן שליליים והן חיוביים כאחד, יש שורש. זוהי תוצאה של תכונת הסופרמום, אך ניתן להשתמש בה גם כדי להוכיח תכונה זו אם מקבלים אותה כאקסיומה. (הגדרת הרציפות אינה תלויה בשום צורה של שלמות, ולכן אין כאן מעגליות).

ראו גם

עיינו גם בפורטל:
	פורטל מתמטיקה

קישורים חיצוניים

גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זה בעצם המספרים הממשיים? (חלק ב': השדה הסדור השלם), באתר "לא מדויק", 31 באוגוסט 2024
גדי אלכסנדרוביץ', אז מה זה בעצם המספרים הממשיים? (חלק ג': על שתי שלמויות), באתר "לא מדויק", 12 באוקטובר 2024

ביאורים

↑ סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $\varepsilon >0$ קיים $N$ מתאים כך שלכל $n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$

[1] סדרה $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ כך שלכל $\varepsilon >0$ קיים $N$ מתאים כך שלכל $n,m>N$ מתקיים $|a_{n}-a_{m}|<\varepsilon$

[א]