ראשוניים תאומים

בעיות פתוחות במתמטיקה: האם קיימים אינסוף ראשוניים תאומים? (בעיות פתוחות נוספות במתמטיקה)

בתורת המספרים, ראשוניים תאומים הם זוג מספרים ראשוניים שההפרש ביניהם הוא 2. פרט למספר הראשוני 2, כל שאר הראשוניים הם אי-זוגיים, ולכן המרחק בין כל שניים מהם מוכרח להיות זוגי. אם כן, 2 הוא ההפרש הקטן ביותר האפשרי (מלבד המקרה של 2 ו-3).

עשרת הזוגות הראשונים של ראשוניים תאומים הם:

$$(3,5),(5,7),(11,13),(17,19),(29,31),(41,43),(59,61),(71,73),(101,103),(107,109),\ldots$$

המספר שבין זוג ראשונים תאומים מתחלק תמיד ב-6, למעט המקרה (3,5).

נכון לאפריל 2012, הראשוניים התאומים הגדולים ביותר הידועים הם $3756801695685\cdot 2^{666669}\pm 1$, בעלי 200,700 ספרות.

השאלה האם קיימים אינסוף ראשוניים תאומים היא אחת מהשאלות הפתוחות הוותיקות בתורת המספרים. זהו התוכן של השערת המספרים הראשוניים התאומים.

צורה חזקה של השערה זו היא השערת הארדי-ליטלווד, העוסקת במספרם של הראשוניים התאומים הקטנים מגבול x. לפי ההשערה, מספר הזוגות שווה בקירוב ל-$C{\frac {x}{\ln(x)^{2}}}$ כאשר $C>0$ קבוע כלשהו; במילים אחרות, הסיכוי שמספרים $x,x+2$ יהיו שניהם ראשוניים הוא ${\frac {C_{0}}{\ln(x)^{2}}}$ כאשר $C_{0}>0$ קבוע כלשהו. ההשערה תואמת למשפט המספרים הראשוניים, שלפיו הסיכוי של כל אחד מן המספרים האלה להיות ראשוני הוא בקירוב ${\frac {x}{\ln(x)}}$.

על ידי פיתוח גרסה כמותית לנפה של ארטוסתנס, הוכיח המתמטיקאי הנורווגי ברון בשנת 1919, שמספר הראשוניים התאומים עד $x$ קטן מ-${\frac {x}{\ln(x)^{2}}}$. מעובדה זו נובע שסכום כל ההופכיים של הראשוניים התאומים מתכנס לגבול סופי (ראה קבוע ברון), שלא כמו סכום ההופכיים של כל המספרים הראשוניים (שהוא אינסופי). אפשר להסיק מכך שהראשוניים התאומים אינם מאוד שכיחים, אבל התוצאה של ברון אינה מראה שמספרם סופי (והדעה המקובלת היא להפך, שמספרם אינסופי).

שלישייה של מספרים תאומים, כלומר מספרים $p,p+2,p+4$ ששלושתם ראשוניים, יש רק אחת, השלישייה 3, 5, 7. כדי להוכיח שאין שלישיות נוספות, נניח שיש שלישייה כזו. אם $p$ הוא ראשוני גדול מ-3, הרי השארית בחלוקתו ב-3 היא 1 או 2. אם השארית היא 1, הרי $p+2$ מתחלק ב-3 ללא שארית, ואם השארית היא 2, הרי $p+4$ מתחלק ב-3 ללא שארית. מאידך, ישנן שלשות מורכבות יותר כגון $p,p+2,p+6$ או $p,p+4,p+6$, שאבריהן יכולים להיות כולם ראשוניים (לדוגמה, 11,13,17 במקרה הראשון, 37,41,43 במקרה השני). אנשי תורת המספרים משערים שאם התבנית אינה בלתי-אפשרית מסיבה טריוויאלית (כגון החלוקה ב-3 שהוסברה לעיל), אז ישנם אינסוף מקרים שבהם כל הרכיבים הם ראשוניים. זוהי הכללה של השערת המספרים הראשוניים התאומים.

ב-12 באפריל 2013, הצליח יטאנג צ'אנג להוכיח כי מספר הזוגות הראשוניים שההפרש ביניהם קטן מ-70,000,000 הוא אינסופי.

ראו גם

• ראשוני ז'רמן
• פאולו ג'ורדנו – פיזיקאי וסופר איטלקי, כתב את הרומן "בדידותם של המספרים הראשוניים", שבו הדמויות הן זוג מספרים ראשוניים תאומים, שמופרדים זה מזה על ידי מספר זוגי יחיד שלא מאפשר להם להיפגש, למרות שהם כה קרובים.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא ראשוניים תאומים בוויקישיתוף

• כריס קלדוול: מספרים ראשוניים (באנגלית).
• שביאר גורדון, פסקל סבה: מבוא למספרים ראשונים תאומים וקבוע ברון (באנגלית).
• ראשוניים תאומים, באתר MathWorld (באנגלית)