תלות ליניארית

תלויה ליניארית הוא מושג באלגברה ליניארית המתאר קבוצת וקטורים במרחב וקטורי, אשר אפשר להציג אחד מהווקטורים שלה כצירוף ליניארי של וקטורים אחרים בקבוצה.

לדוגמה, שלושת הווקטורים (1, 0, 0), (0,1,0) ו-(0, 0, 1) ב-$\mathbb {R} ^{3}$ בלתי תלויים ליניארית, אולם (2, 1-, 1), (1, 0, 1) ו-(3, 1-, 2) הם וקטורים תלויים ליניארית (מפני שהווקטור השלישי הוא סכום שני הווקטורים הראשונים).

הגדרה

יהא $\ V$ תת מרחב ליניארי מעל שדה $\ \mathbb {F}$. אם $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ הם וקטורים ב $\ V$, נאמר שהם תלויים ליניארית מעל $\ \mathbb {F}$ אם ישנם סקלרים $\ a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}$ ב-$\ \mathbb {F}$, לא כולם אפסים, כך ש- $\ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\{0\}$. באופן מקוצר: $\sum _{i=1}^{n}a_{i}\mathbf {v} _{i}=\mathbf {0} \,$. אם לא קיימים סקלרים כאלה אומרים כי $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ בלתי תלויים ליניארית, או בקיצור בת"ל.

מכאן נובע כי הווקטורים $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ הם בלתי תלויים ליניארית אם ורק אם מן השוויון $\ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$ נובע בהכרח כי $\ a_{i}=0$ לכל $\ 1\leq i\leq n$.

המרחב המוקרן על ידי תלות ליניארית

תלות ליניארית בין וקטורים $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ היא וקטור $\ (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})$ עם $\ n$ סקלרים, לא כולם אפס, כך שמתקיים

$$\ a_{1}\mathbf {v} _{1}+a_{2}\mathbf {v} _{2}+\ldots +a_{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0}$$

אם קיימת תלות כזו, הווקטורים הם תלויים ליניארית. כיוון שמכפלה בסקלר של מקדמי התלות נותנת מקדמים של תלות ליניארית, ומכיוון שסכום של מקדמי תלויות נותן גם הוא מקדמים של תלות ליניארית, הרי נובע שקבוצת כל התלויות הליניאריות בין הווקטורים $\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}$ יחד עם וקטור האפס היא מרחב וקטורי, שהוא תת-מרחב של $\mathbb {F} ^{n}$.

דוגמאות

הנה מספר דוגמאות שנועדו להבהיר את רעיון התלות הליניארית:

דוגמה א'

הווקטורים (1, 1), (2, 3-) ב $\ \mathbb {R} ^{2}$ הם בלתי תלויים ליניארית

הוכחה: יהיו $\ a$ ו $\ b$ שני מספרים ממשיים כך שמתקיים

$a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)\,$

$(a-3b,a+2b)=(0,0)\,$

וכן

$a-3b=0\,$

ו $a+2b=0.\,$ אם נפתור עבור $\ a$ ועבור $\ b$ נמצא כי $\ b=0$ ו $\ a=0$.

דוגמה ב'

יהי $\ V=\mathbb {R} ^{n}$ נסתכל על הווקטורים הבאים ב $\ V$

$e_{1}=(1,0,0,\ldots ,0)\,$

$e_{2}=(0,1,0,\ldots ,0)\,$

$\cdots \,$

$e_{n}=(0,0,0,\ldots ,1)\,$

אז e₁,e₂,...,e_n הם בלתי תלויים ליניארית.

הוכחה:

נתבונן בקבוצת סקלרים $\ a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}\in \mathbb {R}$ שעבורם מתקיים

$a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}=0\,$

מכיוון ש

$a_{1}e_{1}+a_{2}e_{2}+\cdots +a_{n}e_{n}=(a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})\,$

מתקיים $\ a_{i}=0$ עבור כל i מ 1 עד n.

ראו גם

• אי תלות אלגברית

קישורים חיצוניים

• תלות ליניארית, באתר MathWorld (באנגלית)