תנאי הלדר

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

פונקציה עבור תחום פתוח מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים , אם לכל מתקיים .

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים , פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים , אם לכל מתקיים .

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע , אז היא רציפה באותו תחום.
  • אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע , משמע היא חסומה.
  • מהקמירות של הפונקציה , עבור כל , נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר מרחב מטרי כלשהו.
  • תנאי הלדר עם קבוע נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים מעל קבוצה פתוחה במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן . אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: , וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):