תנועה בראונית גאומטרית

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

תנועה בראונית גאומטריתאנגלית: Geometric Brownian motion; ‏GBM) הוא תהליך סטוכסטי רציף בזמן שהלוגריתם שלו הוא משתנה מקרי המתנהג כמו תנועה בראונית עם סחף. זהי דוגמה חשובה של תהליך סטוכסטי המקיים משוואה דיפרנציאלית סטוכסטית. אחד השימושים החשובים הוא במתמטיקה פיננסית בו יש מודלים רבים המניחים כי מחירי מניות מתנהגים כמו תנועה בראונית גאומטרית, כמו למשל במודל בלק ושולס.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

תנועה בראונית גאומטרית הוא תהליך שמקיים את המשוואה דיפרנציאלית הסטוכסטית: dS_t=\mu S_t dt+\sigma S_t dW_t

כאשר: W_t היא תנועה בראונית ו-\sigma (תנודתיות) ו-\mu (סחף) הם קבועים.

פתרון המשוואה הדיפרנציאלית[עריכת קוד מקור | עריכה]

את המשוואה הדיפרנציאלית הסטוכסטית הזו ניתן לפתור על ידי אינטגרל איטו ולהגיע לצורה אנליטית:

S_t=S_0 \cdot e^{ (\mu -0.5 \sigma ^2)t+{\sigma W_t}}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

מכיוון ש-W_t היא תנועה בראונית אז הוא משתנה מקרי שמתפלג נורמלי סטנדרטי ולכן ניתן למצוא כי S_t שהיא תנועה בראונית גאומטרית מתפלגת התפלגות לוג-נורמלית כאשר התוחלת והשונות הם:

\mathbb{E}(S_t)= S_0e^{\mu t},
\operatorname{Var}(S_t)= S_0^2e^{2\mu t} \left( e^{\sigma^2 t}-1\right),

כך שניתן לראות שככל ש-t גדול יותר התוחלת גבוהה יותר.

במתמטיקה פיננסית[עריכת קוד מקור | עריכה]

במתמטיקה פיננסית נהוג לתאר את השינוי שקורה במניות ומחיר סחורות כתנועה בראונית גאומטרית. הסיבות לכך:

  • בטווח הרחוק המחירים עולים (נקבע על ידי הסחף) אולם בטווח קצר ייתכנו עליות וירידות.
  • תנועה בראונית גאומטרית מאפשרת רק ערכים חיוביים כמו מחירי מניות (כאשר המחיר מגיע ל-0, החברה פושטת רגל ולכן הערך לא יכול להיות שלילי).
  • במחקרים שעשו הראו כי מחירי מניות ואף מחירי מדדים מתארים עליה אקספוננציאלית.‏[1]
  • סיבה נוספת היא שחישוב המחירים הוא פשוט יחסית.

קיימות גם סיבות לאי שימוש בתנועה בראונית גאומטרית:

  • בתנועה בראונית גאומטרית התנודתיות קבועה אולם בפועל התנודתיות משתנה.
  • מחירי מניות הינם מתפלגות בהתפלגות נורמלית אלא יש להם זנבות עבים (ז"א שהסיכוי לרווחים גדולים גבוהה מהסיכוי החזוי לפי ההתפלגות הנורמלית ולכן אין התכנסות).

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ John Hull‏, "Options, Futures, and other Derivatives" פרק 12.3