תרבוע גאוסיאני

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Incomplete-document-purple.svg
יש להשלים ערך זה: בערך זה חסר תוכן מהותי.
הנכם מוזמנים להשלים את החלקים החסרים ולהסיר הודעה זו. שקלו ליצור כותרות לפרקים הדורשים השלמה, ולהעביר את התבנית אליהם.
Comparison between 2-point Gaussian and trapezoidal quadrature.
השוואה בין תרבוע גאוסיאני לתרבוע טרפזואידי ב-2 נקודות. הקו הכחול הוא הפולינום , אשר האינטגרל שלו בקטע [1,1-] הוא 2/3. כלל הטרפז מחזיר את האינטגרל של הקו הכתום המקווקו, ששווה ל-. כלל התרבוע הגאוסיאני מחזיר את האינטגרל של הקו השחור המקווקו, והוא שווה ל-. התוצאה היא מדויקת, כיוון ששטח האזור הירוק שווה לסכום שטחי האזורים האדומים.

באנליזה נומרית, כלל תרבוע הוא שיטת קירוב של האינטגרל המסוים של פונקציה, שבדרך כלל מנוסח כסכום משוקלל של ערכים של הפונקציה בנקודות מסוימות בתוך תחום האינטגרציה. כלל תרבוע גאוסיאני בעל n נקודות הוא כלל תרבוע שנבנה במיוחד לצורך חישוב תוצאה מדויקת לאינטגרל של פולינומים ממעלה או פחות באמצעות בחירה מתאימה של הצמתים xi והמשקלים wi בעבור i= 1, ..., n. תחום האינטגרציה השכיח ביותר של פונקציות הוא הקטע [1,1-], כך שהכלל מנוסח למקרים אלו כך:

והוא מדויק רק לפולינומים ממעלה ומטה. כלל זה ידוע בשם תרבוע גאוס-לז'נדר. המתודולוגיה של תרבוע גאוסיאני אפקטיבית יותר לעומת שיטת האינטרפולציה של ניוטון-קוטס, משום שמאפשרת לחשב אינטגרל של פולינומים ממעלה n-1 באמצעות מספר נקודות קטן מ-n. היא הוצגה לראשונה על ידי קרל פרידריך גאוס במאמר מ-1814.

ניתן להראות שצמתי התרבוע xi הם שורשים של פולינום המשתייך לסדרה של פולינומים אורתוגונליים (אורתוגונליים ביחס למכפלה פנימית מסוימת). זו אבחנה קריטית לחישוב נקודות הצומת והמשקלים של תרבוע גאוסיאני של פונקציה.


קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]