תרבוע הפרבולה

מקטע פרבולי.

תרבוע הפרבולה (ביוונית: Τετραγωνισμὸς παραβολῆς) הוא חיבור על גאומטריה, שנכתב על ידי ארכימדס במאה ה-3 לפנה"ס. כשהוא נכתב כמכתב לחברו דוסיתאוס, העבודה מכילה 24 טענות בנוגע לפרבולות, ותוצאת הכתר שלה היא ההוכחה שהשטח של מקטע פרבולי (השטח התחום על ידי פרבולה וקו ישר) שווה ל-4/3 שטחו של משולש חסום מסוים.

הניסוח של הבעיה נעזר בשיטת המיצוי. ארכימדס חילק את השטח התחום לאינסוף משולשים אשר שטחיהם יוצרים סדרה הנדסית. הוא מחשב את הסכום של הטור הגאומטרי המתקבל, ומוכיח שזהו השטח של המקטע הפרבולי. זה מייצג את אחד השימושים המתוחכמים ביותר בשיטת המיצוי במתמטיקה של העת העתיקה, ונשאר כזה עד הפיתוח של החשבון האינטגרלי במאה ה-17, אז הוא הוחלף בידי עקרון קאוואליירי.

המשפט המרכזי

ארכימדס חוסם משולש מסוים בתוך המקטע הפקבולי הנתון.

מקטע פרבולי הוא האזור התחום על ידי פרבולה וישר. כדי למצוא את השטח של מקטע פרבולי, ארכימדס בונה משולש חסום מסוים. הבסיס של המשולש הזה הוא הקטע על הקו הישר המוקצה על ידי הפרבולה, והקודקוד השלישי של המשולש הוא הנקודה על הפרבולה בה המשיק לפרבולה מקביל לבסיס המשולש. לפי טענה 1, קו מהקודקוד השלישי אשר מקביל לציר הפרבולה מחלק את הבסיס של המשולש למקטעים שווים. המשפט המרכזי קובע כי השטח של המקטע הפרבולי שווה ל-4/3 שטחו של המשולש החסום.

מבנה הטקסט

ארכימדס נותן שתי הוכחות של המשפט המרכזי. הראשונה נעזרת במכניקה מופשטת, ועושה שימוש בעקרון המנוף. השנייה, והמפורסמת יותר, נעזרת בגאומטריה טהורה, ובשיטת המיצוי.

הוכחה גאומטרית

חיתוך המקטע הפרבולי

החלוקה של ארכימדס את המקטע הפרבולי למספר אינסופי של משולשים.

הרעיון המרכזי של ההוכחה הוא החלוקה של המקטע הפרבולי למספר אינסופי של משולשים, באופן כזה שכל משולש נחסם במקטע הפרבולי שלו באותו אופן שהמשולש הכחול נחסם במקטע הגדול.

שטחי המשולשים

בטענות 18 עד 21, ארכימדס מוכיח שהשטח של כל משולש ירוק הוא שמינית אחת משטח המשולש הכחול. זה נובע מההוכחה של ארכימדס שלמשולש הירוק רוחב ששווה למחצית רוחבו של המשולש הכחול וגובה ששווה לרבע גובהו של המשולש הכחול. הטענה שהגובה של המשולש הירוק שווה לרבע גובהו של המשולש הכחול נובעת מיישום הטענה הראשונה (טענה 1) שארכימדס הוכיח בחיבור למקטע הפרבולי בו חסום המשולש הירוק, ומן הגאומטריה של הפרבולה.

לאחר מכן, ארכימדס מרחיב את הטיעון הזה הלאה, ומוכיח שלכל אחד מהמשולשים הצהובים יש שטח ששווה לשמינית שטחו של המשולש הירוק, ושלכל אחד מהמשולשים האדומים יש שטח ששווה לשמינית משטח המשולש הצהוב, וכך הלאה. באמצעות שיטת המיצוי, נובע שהשטח הכולל של המקטע הפרבולי ניתן על ידי:

${\mbox{Area}}\;=\;T\,+\,2\left({\frac {T}{8}}\right)\,+\,4\left({\frac {T}{8^{2}}}\right)\,+\,8\left({\frac {T}{8^{3}}}\right)\,+\,\cdots .$

כאשר T מייצג את השטח של המשולש הגדול הכחול, האיבר השני מייצג את השטח הכולל של שני המשולשים הירוקים, האיבר השלישי מייצג את השטח הכולל של שני המשולשים הצהובים, וכך הלאה. הביטוי לעיל מתפשט ל-:

${\mbox{Area}}\;=\;\left(1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \right)T.$

סיכום הטור

ההוכחה של ארכימדס ש-: 1/4 + 1/16 + 1/64 + ... = 1/3

כדי להשלים את ההוכחה, ארכימדס מראה ש-:

$1\,+\,{\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots \;=\;{\frac {4}{3}}.$

הנוסחה לעיל היא טור גאומטרי, כל איבר הוא רבע מהאיבר הקודם לו. ארכימדס מעריך את הסכום בשיטה גאומטרית לחלוטין - ארכימדס מעריך את הסכומים החלקיים ומשתמש בתכונה הארכימדית כדי לטעון שהסכומים החלקיים נעשים קרובים בצורה שרירותית ל-4/3. זה שקול לוגית לרעיון המודרני של סיכום טור אינסופי. התמונה משמאל ממחישה את הסיכום של טור אינסופי כזה. התמונה מראה ריבוע יחידה שחולק לאינסוף ריבועים קטנים יותר. כל ריבוע סגול הוא בעל שטח של 1/4 מהריבוע הקודם לו, וכך השטח הסגול הכולל מסתכם ל-:

${\frac {1}{4}}\,+\,{\frac {1}{16}}\,+\,{\frac {1}{64}}\,+\,\cdots .$

אבל הריבועים הסגולים קונגרואנטיים לכל אחת מקבוצות הריבועים הצהובים, ולכן מכסים 1/3 משטח ריבוע היחידה. מכך נובע שהסכום לעיל מסתכם ל-4/3.

ראו גם

• היסטוריה של החשבון האינפיניטסימלי

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תרבוע הפרבולה בוויקישיתוף