‏e (קבוע מתמטי)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
באיור מוצגות שלוש פונקציות מעריכיות בבסיסים שונים. פונקציית האקספוננט, המסומנת בכחול, היא הפונקציה המעריכית היחידה ששיפוע הישר המשיק לה (המסומן באדום) בנקודה x=0 הוא 1.
Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.


e (או קבוע אוילר על שם לאונרד אוילר) הוא קבוע מתמטי חשוב שערכו בקירוב: 2.71828 והוא בעל שימושים רבים באנליזה. הקבוע משמש כבסיס הלוגריתם הטבעי ובסימון מתמטי: ln(x) = log_e(x).

הקבוע e מתאר את תוצאתו של גידול המשכי שהסתיים כאשר כל היחידה המקורית הוכפלה ובזמן זה כל חלקיה אף הם גדלו בקצב זהה. באופן זה e מוגדר כגבול הערך (1 + 1/n)^n כאשר n שואף לאינסוף. יש לו השלכות רבות לגבי ניתוח תופעות טבע בהן קיים גידול המשכי, וכן לחישובים כלכליים בעיקר בתחום הריבית.

ניתן להגדיר אותו מתמטית בדרכים אחדות. הנגזרת של e^x היא e^x, כלומר בכל רגע נתון קצב הגידול בפונקציה זהה לערכה. אחת ההגדרות, הנסמכת על ניתוח טורי טיילור הוא כסכומו של הטור \ e = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\dots.

זהו מספר טרנסצנדנטי - כלומר אין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות האלגברה, שייצוגו העשרוני מתחיל בחמישים הספרות הבאות מימין לנקודה: e \approx 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249 77572 47093 69995....
הסימון של מספר זה הוכנס לשימוש על ידי לאונרד אוילר ב-1727.

לצרכים מעשיים ניתן להסתפק בדיוק נמוך יותר, ומקובל להסתפק בקירוב 2.72.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

האזכור הראשון לקבוע זה פורסם ב-1618 בטבלה בסוף עבודה על לוגריתמים מאת ג'ון נפייר. אולם, הטבלה לא כללה את המספר עצמו אלא רק רשימת לוגריתמים שחושבו על פי הקבוע. ההנחה הרווחת היא שהטבלה נכתבה על ידי ויליאם אוטרד. ההתייחסות הראשונה למספר בתור קבוע הייתה של יאקוב ברנולי, כשניסה למצוא את הערך של הביטוי:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

השימוש הראשון לקבוע שסומן אז בתור b, הוא במכתב ששלח גוטפריד לייבניץ אל כריסטיאן הויגנס ב-1690. לאונרד אוילר סימן לראשונה את הקבוע כ-e ב-1727, והפרסום הראשון שעשה שימוש בסימון זה היה ספרו של אוילר "מכניקה" מ-1736. אף על פי שבשנים הראשונות חלק מן החוקרים השתמשו באות c, האות e הייתה נפוצה יותר ולבסוף הפכה לסטנדרט המדעי.

הסיבה לשימוש דווקא באות זו אינה ידועה, אבל סביר שזה בגלל היותה האות הראשונה במילה הלטינית אקספוננט. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר אות זו היא, כי זוהי התנועה הראשונה אחרי האות a, שכבר הייתה בשימוש. לא ברור, על פי אפשרות זו, למה אוילר בחר דווקא תנועות ולא עיצורים. אפשרות נוספת היא שאוילר בחר באות זאת כי זאת האות הראשונה בשם משפחתו (euler).

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

\int_{1}^{e} \frac{1}{t} \, dt = {1}
e מוגדר כך שהשטח הצבוע בתכלת שווה ל-1

מקובלות שלוש דרכים להגדרתו המתמטית של המספר e, כולן שקולות:

1. הגבול של הסדרה הבאה:

e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n

הגדרה זו למעשה מתארת 'גידול המשכי', המופיע הן בחישובי ריבית דריבית והן בגדילה וצמיחה בעולם החי, בו התאים משכפלים את עצמם והצמיחה היא בקצב אחיד לאורך תקופות. על כך בהרחבה בהמשך.

2. סכום הטור האינסופי שמתקבל מטור טיילור:

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + \cdots

3. המספר \,x המקיים:

\int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt = {1}
כלומר, e הוא המספר \,x שעבורו השטח שמתחת להיפרבולה \, f(t)=1/t מ-1 ועד \,x שווה ל-1.

דרכים נוספות לחישוב e[עריכת קוד מקור | עריכה]

סכום טור אינסופי
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3k^2+1}{(3k)!}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!} \right ]^2
e = \cfrac{-12}{\pi^2} \left [ \sum_{k=1}^\infty \cfrac{1}{k^2} \ \cos \left ( \cfrac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
שבר משולב אינסופי
e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+{\cfrac{4}{5+_\ddots}}}}}}
גבול
 e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}
 e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}

תכונות[עריכת קוד מקור | עריכה]

Postscript-viewer-shaded.png ערך מורחב – טרנסצנדנטיות של e

e הוא מספר אי רציונלי. יתרה מכך, הוא גם מספר טרנסצנדנטי, כלומר - e אינו שורש של פולינום עם מקדמים רציונליים.

לפונקציה המעריכית \!\, e^x (אקספוננט) יש תכונה מיוחדת: הנגזרת שלה שווה לפונקציה עצמה. כלומר: \!\, (e^x)'=e^x . תכונה זו ייחודית לפונקציית האקספוננט (ולכפולות שלה בקבועים). את פונקציית האקספוננט נהוג לרשום גם כ-\ \exp(x) ואז \,\exp(1)=e. רישום זה נפוץ בספרים ישנים, שבהם היה קושי להציג נוסחאות מורכבות בגלל מגבלות ההדפסה.

הפונקציה ההפוכה לפונקציית האקספוננט היא פונקציית הלוגריתם הטבעי \!\, \log_e x, המסומנת בקיצור כ-\!\, \ln x.

הפונקציה \ e^x גם משמשת להגדרת הפונקציות הטריגונומטריות (סינוס וקוסינוס) כאשר הארגומנט הוא מספר מדומה, באמצעות נוסחת אוילר:

\ e^{i \theta} = \cos\theta + i \sin\theta

מנוסחה זו נובע, בפרט, הקשר בין חמשת הקבועים הבסיסיים של המתמטיקה, הידוע בשם זהות אוילר:

\ e^{i\pi}+1=0

הוכחת אי-רציונליות[עריכת קוד מקור | עריכה]

להלן הוכחת ז'וזף פורייה לטענה ש-e הוא מספר אי רציונלי. נניח בשלילה כי e הוא רציונלי. e הוא בבירור מספר חיובי, ולפיכך קיימים מספרים טבעיים a ו-b כך ש e=\frac{a}{b}. נסמן

\,x = b!\left(e - \sum_{n=0}^b\frac{1}{n!}\right)
  • כעת נראה כי x הוא מספר שלם:
x = b\,!\left(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = b\,!\left(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\right) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}

והביטוי האחרון הוא מספר שלם משום ש-n קטן או שווה מ b.

  • כפי שהוגדר לעיל, x הוא בבירור מספר חיובי. להלן נראה כי x קטן מ1, ומכיוון שאין מספרים שלמים בין 0 ל1 הרי שבכך נקבל סתירה ונסיק ש e הוא אי רציונלי:

כזכור, e = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n!}, ולפיכך x = b!\sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{1}{n!}

לכן נוכל לכתוב:

x = \sum_{n=b+1}^{\infty}\frac{b!}{n!} = \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \dots = \frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \dots <

<\frac{1}{b+1} + \frac{1}{(b+1)^2} + \frac{1}{(b+1)^3} + \dots

הביטוי האחרון הוא טור הנדסי שאיברו הראשון הוא \frac{1}{b+1} ומנתו היא \frac{1}{b+1} < 1, ולפיכך, על פי נוסחת הסכום של טור הנדסי, סכומו הוא \frac{\frac{1}{b+1}}{1-\frac{1}{b+1}}=\frac{1}{b} לכן x < \frac{1}{b} \le 1, כלומר x הוא מספר חיובי שלם הקטן מ1. זוהי סתירה ולפיכך e הוא מספר אי רציונלי.

שימושים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקבוע e מופיע בניתוחים ומשמש בחישובים של בעיות מתחומים שונים, בעיקר מתחום הניתוח ההסתברותי, הכלכלה ומדעי החיים והטבע, הקשורים בגידול המשכי.

גידול המשכי[עריכת קוד מקור | עריכה]

תהליכי גידול המשכי, (נקראים גם גידול מעריכי או גידול אקספוננציאלי) הם תהליכי צמיחה בהם כמות הצמיחה הנוכחית תלויה באופן קבוע בכמות הצמיחה הקודמת. גידול המשכי מתואר כך: יחידה מקורית צומחת בקצב מסויים, וכל חלק חדש הנובע מהצמיחה, עם היווצרו צומח אף הוא באותו הקצב. בתחום הכלכלה ובחישובי 'ריבית דריבית' היחידה המקורית נקראת הקרן. הקבוע e מתאר את כמות הצמיחה כאשר קצב הגידול הוא של הכפלה עצמית בתקופה הנמדדת.

לדוגמה: יחידה מקורית צומחת ומכפילה את עצמה במהלך תקופה של אלף ימים. היחידה בנויה מאלף תתי יחידות, אשר לאחר אלף ימים ישוכפלו כולן. בכל יום משוכפלת תת יחידה אחת, אך מיד עם שכפולה, ברגע שנוצרת תת היחידה החדשה, גם זו תתחיל בשכפול עצמה בקצב של היחידה המקורית, כלומר ביום הבא, בנוסף לשכפול תת יחידה, יחל שכפול של אלפית מתת היחידה הקודמת שנוצרה לפני יום.

וכך:

  1. ביום הראשון תשוכפל תת יחידה אחת.
    בסיכומו של היום הראשון נקבל 1.001
  2. ביום השני תשוכפל תת יחידה אחת, אך בנוסף תצמח גם אלפית נוספת מתת היחידה של היום הראשון.
    בסיכומו של היום השני נקבל 1.002001
  3. ביום השלישי תשוכפל תת יחידה אחת, אלפית מכל אחת משתי תתי היחידה שהצטברו ביום השני, ובנוסף גם אלפית מן האלפית (כלומר אחד חלקי מליון) שצמחה ביום השני.
    בסיכומו של היום השלישי נקבל 1.003003001
  4. ביום הרביעי תשוכפל תת יחידה אחת, אלפית מכל שלש תתי היחידה שהצטברו ביום השלישי, אחד ממליון מכל אחד משלש האלפיות שהצטברו, ועוד חלק אלפית המליון מחלק המליון שנוסף ביום השלישי.
    בסיכומו של היום הרביעי נקבל: 1.004006002001

וכן הלאה.

לאחר אלף שניות, בנוסף ליחידה המשוכפלת יהיו גם תתי היחידות הנוספות שצמחו. סך כל הצמיחה שנוצרה יהיה e, מעט יותר מפעמיים וחצי מספר תתי היחידות המקורי, ובקירוב: 2718 תתי יחידות, חישוב מקורב של e כפול אלף.


הגידול ההמשכי יכול לתאר תהליכי צמיחה, כאשר כל העת מתווספות יחידות חדשות, או דעיכה, כאשר יחידות חדשות הולכות ונחסרות.


גידול המשכי קיים בתחומים רבים ביניהם בטבע ובעולם החי, בנוסחאות מתמטיות וחישוביות, וכן בתופעות אקראיות החוזרות על עצמן ומצטברות. משום כך הקבוע e מופיע בחישובי הסתברות, בניתוחי צמיחה בכלכלה ובמדעי הטבע החיים והסביבה, ותופס מקום חשוב בקלקולוס - חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי.

ריבית דריבית[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחישובי ריבית דריבית הe מהווה קבוע לחישוב החוב כעבור זמן מסויים או כעבור מספר מחזורים מסויים. הקבוע e נתגלה בידי יעקב ברנולי בעת ניתוח חישובי הריבית דריבית.

לדוגמה, אם אדם מפקיד בבנק סכום של שקל אחד (הקרן הוא שקל אחד) ומקבל ריבית של 100% המחושבת אחת לשנה (קצב הגידול מכפיל את עצמו), הוא יצבור סכום של שני שקלים בסוף השנה. אם הבנק יחשב את הריבית מדי חצי שנה בריבית דריבית, כלומר ריבית של 50% בחצי הראשון של השנה שלאחריו יהיה בבנק שקל וחצי, וחישוב ריבית של 50% בחצי השני של השנה, הפעם 50% על שקל וחצי, שהם 50% על הקרן - השקל, ועוד 50% על הריבית שנצברה - חצי השקל שהתקבל בחלק הראשון של השנה. בתום החצי השני של השנה יהיו ברשותו 2.25 שקלים. אם חישוב הריבית יבוצע מדי רבע שנה, יסיים עם 2.44 שקלים. אם חישובי הריבית יבוצעו במרווחי זמן קטנים ביותר הסכום שיתקבל יתקרב e כפול הקרן - כלומר הסכום המקורי. בדוגמה שלנו הקרן הוא שקל אחד, ולכן בסוף השנה המפקיד יקבל מהבנק e שקלים לפי הנוסחה: e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + {1 \over n} \right) ^n שהם בקירוב 2 שקלים ו-72 אגורות.


חישובי הסתברות[עריכת קוד מקור | עריכה]

התפלגות אחידה[עריכת קוד מקור | עריכה]

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות ההסתברות של התפלגות נורמלית נתונה על ידי

\ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}}

פונקציה זו נקראת "פעמון גאוס" או "גאוסיאן" על שם המתמטיקאי הנודע קארל פרידריך גאוס. פונקציה זו שימושית ביותר - הן לצורכי תאוריה והן לצרכים ניסיוניים, שכן לפי משפט הגבול המרכזי - הממוצע של מספר גורמים אקראיים, בלתי תלויים ובעלי אותה התפלגות, שואף לאחר נירמול מתאים להתפלגות נורמלית.

הקבוע e משמש גם כאן, כתוצאה מ'גידול המשכי' בהגדרת פעמון גאוס, כאשר הצמיחה הולכת וקטנה בתלות בצמיחה הקודמת, ובכך מגדירה את צורת העקומה.

זכיה בגורל אקראי[עריכת קוד מקור | עריכה]

בחישובי הסתברות של גורל אקראי, הקבוע e משמש לחישוב הסתברות הזכיה (ולכן גם הסתברות אי הזכיה) במהלך מספר גדול מאוד של הגרלות, כאשר כמות האפשרויות לזכיה (כרטיסי ההגרלה שנקנו) גדול ביותר ואין תלות בין סיכויי כל אפשרות (או כרטיס) לזכות, וגם אין תלות של אפשרות הזכיה בין הגרלה אחת לאחרת. הסיכוי שמגריל מסויים לא יזכה באף לא אחד מן ההגרלות, שואף ל 1 - \frac{1}{e} ומותיר את הסיכוי שאכן יזכה באחת ההגרלות כ \frac{1}{e}

החישוב:
אם משתתפים פעמים רבות בהגרלות כשבכל הגרלה נקנו \,n כרטיסים, כאשר \,n שואף לאינסוף, כלומר נקנה מספר גדול מאוד של כרטיסים, ההסתברות שכרטיס אחר - ולא הכרטיס הנבחר, יזכה בכל אחד מן ההגרלות מחושב כך:

  • בכל הגרלה, ההסתברות של כל כרטיס לזכות בִפרס היא \,1/n.
  • ההסתברות שכרטיס נתון לא יזכה בהגרלה מסויימת היא 1 - \frac{1}{n}
  • כאמור מדובר בהגרלה בה אין תלות של הסתברות הזכיה בין הכרטיסים השונים, לא בין הגרלה להגרלה, ולא מספר הפעמים שהגורל הוגרל.
  • לכן ההסתברות שמתוך \,n הגרלות, הכרטיסים לא יזכו היא  \left(1 - {1 \over n} \right) ^n .
  • כאשר \,n שואף לאינסוף, הסתברות הזכייה של כל כרטיס הולכת וקטנה אך באותו הזמן מספר הכרטיסים שנקנו גדל. גבול ההסתברות שאחד מהכרטיסים האחרים יזכה, כאשר \,n שואף לאינסוף, הוא:
\lim_{n \to \infty} \left(1 - {1 \over n} \right) ^n = \frac{1}{e}.

בעיית הדוור[עריכת קוד מקור | עריכה]

בעיה הדומה לחישוב הזכיה (או אי הזכיה) בגורל אקראי, נתגלתה בידי פייר ריימונד דה מונטמורט יחד עם ברנולי, ונקראת בעיית הדוור, או בעיית 'בדיקת הכובעים':

דוור מבולבל מחלק באקראי n מכתבים ל-\,n תיבות. קבוע הe משמש לחישוב ההסתברות שאף מכתב לא יגיע ליעדו.

גרסה אחרת לבעיה היא מקרה של משרת מבולבל השם את כובעיהם של האורחים הרבים באופן אקראי בתוך קופסאות עם שמותיהם, ומחשבים את ההסתברות שאף לא כובע אחד הוכנס לקופסה הנכונה.

במקרה זה את חישוב ההסתברות ניתן למצוא באמצעות עקרון ההכלה וההפרדה. מקבלים כי ההסתברות שווה לסכום הטור:

{1 \over 0!} - {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} - {1 \over 3!}
+ \cdots
+ {1 \over (n-1)!} - {1 \over n!}.

טור זה הוא טור טיילור של הפונקציה \ e^{-x} בנקודה 1 (או טור טיילור של הפונקציה \ e^{x} בנקודה \,-1). על כן, כאשר \,n שואף לאינסוף, שואף סכום הטור ל-\frac{1}{e}.


חישוב עצרת לערכים גדולים (נוסחת סטירלינג)[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוסחת סטירלינג נותנת קירוב לפונקציית העצרת. במשפט אודות העצרת נקבע כי עבור \ n גדול, מתקיים n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n. את המשפט מוכיחים בעזרת פונקציית גמא (המאפשרת ליצור הכללה של פונקציית העצרת למספרים שאינם שלמים):

\ \Gamma (n+1) = \int_{0}^{\infty}{ t^n e^{-t} dt}

אשר עבור n טבעי מקיימת: \ \Gamma (n+1) = n!.

כל מספר עצרת, מכפיל את כל המספרים הקודמים לו,

a_n = n = (n-1) + 1 = a_{n-1} + 1
x! = a_1  (a_1 + 1)((a_1 + 1)+1)...(((...a_1 + 1)+1)+...)

וכך עצרת למעשה מהווה פונקציה הקשורה בגידול המשכי, ומכאן הקשר לקבוע e.

חישובים במדעי הטבע והחיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בפיסיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

קבוע e משמש לחישוב דעיכת מהירות חלקיק בזמן, בעקבות חיכוך המשכי, על פי חוקי ניוטון.

לפי החוק השני של ניוטון, התאוטה (כלומר השינוי במהירות) של חלקיק הנע בהשפעת כוח חיכוך המתכונתי למהירותו (כלומר כאשר כח החיכוך תלוי במהירות הנוכחית), נקבע לפי:

\ m\frac{ dv}{dt}=-\mu v

כאשר \ v מהירות החלקיק, \ m המסה שלו ו-\ \mu מקדם החיכוך. המהירות החדשה, בהנחה שהמהירות ההתחלתית של החלקיק היא \ v_0 הינו:

\ v(t)= v_0 e^{-\frac{\mu}{m} t}.

כלומר, המספר \ e משמש לתיאור דעיכת מהירות החלקיק בזמן.

במדעי החיים והסביבה[עריכת קוד מקור | עריכה]

הקבוע e משמש לחישוב הצמיחה והדעיכה של אוכלוסיות, צמחים, איברים ובעלי חיים, כאשר מדובר בתהליכי גידול המשכי. אלו קיימים במקרים רבים בעולם החי, כאשר תאים משכפלים את עצמם ומכפילים את כמותם בקצב קבוע, וגם כאשר התופעות הנמדדות אינן של הכפלה עצמית, אך קצב הצמיחה או הדיכה שלהן תלוי באוכלוסיה הקודמת. בחישובים אלו, g = ce^{f(x)} מגדיר את הגדילה, כאשר

g הוא התוצר (growth),
c הוא קבוע כלשהו הקשור לקצב הגדילה
(f(x היא פונקציה המגדירה מספר המחזורים וקצב הגדילה

במדעי הסביבה, וכן בחישובי התפשטות מחלות במדעי הרפואה, במצבים של משאב מתכלה גידול האוכלוסיה בזמן נתון לפי עקומת גאוס, שנוסחתה תלויה בקבוע e, כאשר בתקופת הצמיחה האוכלוסיה צומחת בגידול המשכי, ואילו לאחר הרוויה היא דועכת באופן דומה.

במתמטיקה[עריכת קוד מקור | עריכה]

השטח תחת הגרף y=1/x החל מהנקודה x=1, שערכו בדיוק אחד, הינו עד הנקודה x=e.

הקבוע e כאמור הוא הנגזרת של הפונקציה e בחזקת x. משמעותו היא שהשיפוע של הגרף של y=e^x בכל נקודה נתונה שווה בערכו לגובה הגרף באותה נקודה.

הקבוע e הוא נקודת השיא (המקסימום) של הפונקציה y = x^{/fract{1}{x}}.

הקבוע e הוא הבסיס של הלוגריתם הטבעי, בעל חשיבות עצומה בענפי מתמטיקה רבים, ביניהם חישובי אינסוף (חשבון אינפיניטסימלי), וחישובי סכימה ונגזרת (חשבון אינטגרלי ודיפרנציאלי), אך במיוחד לגבי מספרים מרוכבים - הצגת המספרים המרוכבים באופן גיאומטרי, וחישובי פונקציות עם מספרים מרוכבים.

נוסחת אוילר וזהות אוילר[עריכת קוד מקור | עריכה]

באמצעות הגדרתו במשפט טיילור של הקבוע e, ניתן להסיק את משפט אוילר הקובע ש e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\! לכל x שהוא.

המקרה הפרטי בו x = /pi הנו זהות אוילר, הקובע ש e^{i/pi} = -1 או e = -1^{frac{1}{i/pi}} כלומר e הוא השורש ה'פאי' ה'דמיוני' של היחידה השלילית, נוסחה הקושרת ארבעה קבועים חשובים במתמטיקה, היחידה (המספר אחד), קבוע אוילר, פאי (היחס בין הקוטר להיקף המעגל) והיחידה השלילית (המספר 1-).


ייצוג גיאומטרי של מספרים מרוכבים באמצעות הקבוע e[עריכת קוד מקור | עריכה]

בייצוג גיאומטרי של מספרים מרוכבים במישור המרוכב, חיבור הוא שעתוק מקום על ציר המספרים על ידי חיבור כל אחד מיסודותיהן של שתי הנקודות, החלק ה'אמיתי' והחלק ה'דמיוני'. לעומת זאת פעולת הכפל הוא שעתוק מקום על ציר המספרים על ידי מכפלת הערכים ה'אמיתיים' של שתי הנקודות תוך חיבור הזוויות מציר ה-X של שני המספרים להגדרת הזוית הסופית.

ניתן לעבור ליצוג המספרים המרוכבים דרך המתמטיקה של חזקות הקבוע e. משתמשים בהגדרת העלאה בחזקה של מספר מרוכב f(x) = e^z כאשר z הוא מספר מרוכב כלשהו.

לפי כללי החזקה e^z = e^{x+i} = e^x e^i
כאשר בוחרים את z כיחידה המרוכבת, 1+i מתקבלת הנוסחה e^{1+i} = e  e^i
אם z הוגדר באמצעות הגיאומטריה במישור המרוכב כמשתנה
 z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\, כאשר r הוא הגודל המוחלט (ובשמות אחרים: המרחק, המקדם או הארגומנט) של המספר המרוכב, ואילו \varphi הוא הפאזה (או הזוית) שלו.
מכאן, לפי משפט אוילר, ניתן לייצג את אותו המשתנה z באמצעות הנוסחה:
z = r e^{i \varphi}.\,

בעקבות הזהות הזו, וכללי החזקה המתקיימים גם במספרים מרוכבים, ניתן להבין את הסיבה לפעולת החיבור בין הזוויות הנדרשת כדי לפתור פעולת כפל בין שני מספרים מרוכבים, כפי שמחברים את המעריכים כאשר שני מספרים בעלי אותו הבסיס (במקרה זה הקבוע e) מוכפלים זה בזה. באותו הזמן פעולת הכפל הרגילה נדרשת על מנת לבצע את מכפלת הערכים (המרחקים). באופן זה בייצוג הגיאומטרי על המישור המרוכב, פעולות מכפלה של מספרי מרוכבים הופכות לפעולות סיבוב (רוטציה) ומתיחה (סקאליזציה).

קוריוזים מתמטיים[עריכת קוד מקור | עריכה]

e בחזקת מספר כלשהו גדול מערך המספר בחזקת e. כלומר: e^x > x^e זהו המספר היחיד המקיים זאת לגבי כל x שהוא.

העובדה שהקבוע e הוא מספר טרנסצנדנטי, מספר שאין אפשרות להגדיר אותו באמצעות פעולות אלגבריות של חיבור, חיסור, כפל חילוק, והעלאה בחזקה, נתגלה בידי צ'ארלס הרמייט. בהמשך המתמטיקאי קארל לואיס פרדיננד פון לינדמן השתמש בעובדת היותו של e מספר טרנסצנדנטי ובאמצעות נוסחת אוילר הקושרת את הקבוע e עם הקבוע פאי, הוכיח שגם פאי הוא מספר טרנסצנדנטי.

e בפולקלור[עריכת קוד מקור | עריכה]

אף ש-e הוא קבוע חשוב למדי, הוא כמעט ואינו מוכר יחסית לקבוע π (פאי), המופיע רבות בפולקלור המתמטי. זריקת עידוד לפרסומו של e ניתנה על ידי חברת גוגל שבבעלותה מנוע החיפוש גוגל, שבבקשתה הראשונה להנפקת ניירות ערך ציינה את סכום ההנפקה כ-$2,718,281,828, כלומר e מיליארד דולר. שימוש נוסף שגוגל עשו במספר הוא פרסום מודעה גדולה בלב עמק הסיליקון הקוראת לגלוש לאתר שכתובתו "עשר הספרות הרצופות הראשונות במספר e היוצרות יחדיו מספר ראשוני" (התשובה מגיעה רק בספרה ה-101: 7427466391). מי שפתר את החידה נשלח לפתור חידה קשה יותר, ורק אז הגיע לאתר של Google Labs שם הוזמן לשלוח קורות חיים כדי לקבל אצלם עבודה.

מדען המחשב דונלד קנות ממספר את הגרסאות של תוכנת Metafont כך שיילכו ויתקרבו ל-e: גרסה 2, גרסה 2.7, גרסה 2.71, וכו'. הגרסה הנוכחית היא 2.718281.

ראו גם[עריכת קוד מקור | עריכה]

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]