i (מספר)

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
המיקום של i ושל i- על המישור המרוכב כאשר הציר האופקי הוא המספרים הממשיים והציר האנכי הוא הציר המדומה

המספר i, ידוע גם כיחידת המספר המדומה i או היחידה המדומה, היא הפתרון למשוואה הריבועית: . כיוון שאין מספר ממשי שמקיים את זהות זו, ותחת הנחת סגירות לחיבור וכפל בסקלר של היחידה הדמיונית, ניתן להרחיב את המישור הממשי על ידי הכללת היחידה הדמיונית במישור חדש, אשר כולל את היחידה הדמיונית – מישור המספרים המרוכבים. החשיבות העיקרית של הוספת היחידה הדמיונית היא בעובדה שעל ידי הכללת היחידה הדמיונית כצירוף לינארי שלה עם המספר 1 (מישור גאוס), לכל פולינום מדרגה n יהיו n שורשים (המשפט היסודי של האלגברה). בהתאם לכך הפתרונות למשוואה שהוצגה יהיה i+ או i- ומציאתם על ידי הצבת הערכים בנוסחת השורשים.

היסטוריה[עריכת קוד מקור | עריכה]

יצירתו של המספר i, ביחד עם המספרים המרוכבים הייתה בתחילת המאה ה־16, ומיוחסת לג'ירולמו קרדאנו, שנעזר בהגדרתם לצורך פתרון של המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לא אמיתיים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן להם. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, וצירוף לינארי שלהם עם מספרים ממשים (כלומר, כל מספר מהצורה כאשר ו־ הם ממשיים) נקרא מספר מרוכב. המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

הגדרה[עריכת קוד מקור | עריכה]

היחידה המדומה i מוגדרת להיות המספר שמקיים את המשוואה

ולפי ההגדרה זו הן i והן i- הם שורשים של מינוס 1.

אף על פי שהמבנה נקרא "מדומה", ועל אף שתפיסתית קשה אולי להבין את מהות ההגדרה, המבנה המתמטי הוא תקף לחלוטין, ממש כמו המספרים הממשיים. יתרה מכך, רוב הפעולות שתקפות למספרים ממשיים, תקפות גם למספרים מרוכבים (מספרים שמכילים צירוף לינארי של i ואחד) כמו כל מספר מרוכב i יכול להיות מיוצג על ידי חלק ממש וחלק מדומה: אפשרות נוספת להצגתו תהייה לפי גודל וזוויתהצגה קוטבית: בהינתן: (R - גודל, - פאזה) משמעות הדבר שמיקום i יהיה על מעגל היחידה של מישור גאוס בזווית של 90 מעלות ביחס לכיוון החיובי של הציר הממשי – כפי שמתואר באיור למעלה.

התנהגות של i בחזקות שלמות וגדולות מ־2[עריכת קוד מקור | עריכה]

ואם כך נוכל לזהות מחזוריות, ולפיה נזהה את ההתנהגות של i בחזקת n טבעי.

בדומה ניתן לומר:

בהתאם לנאמר נוכל לקבוע זהות נוספת ביחס ל i :
דרך אחרת לקבל תוצאות אלו היא באמצעות נוסחת אוילר
וכאשר מעלים את i מחזקת עצמו:

יחסי גומלין בין ובין [עריכת קוד מקור | עריכה]

מעצם היותם שני שורשים של אותה המשוואה הריבועית: הם נקראים צמודים קומפלקסים ומתקיים עבורם: בנוסף שני המספרים הם גם נגדיים וגם הופכים אחד של השני, תכונה הכרחית לקיום תת־מרחב וקטורי המדומה: מאחר שפתרון המשוואה היא ההגדרה ליחידה הדמיונית, שלה יש שני פתרונות, ניכרת בעייתיות מסוימת בהגדרה ולכן ישנו צורך לפתרון: שני שורשי המשוואה יהיו ונתייחס לאחד כיחידה הדמיונית ולשני המספר הנגדי\הופכי לו. לאור זאת, אין שוני אלגברי בהגדרתם הבסיסית, אך בהינתן בחירה של שתי יחידות אלו נוכל להגדיר את יחסי הגומלין לעיל.

מעברים מתמטיים שלא ניתן להפעיל על [עריכת קוד מקור | עריכה]

  • אין לאחד כפל של שורשים שמהווים מספר מדומים לכדי שורש אחד:

 ;(סתירה).

  • בדומה כפל בהופכי, משמע חילוק:

 ;(סתירה).

או בצורה כללית:

מעברים אלו תקפים במישור הממשי אך לא במרוכב. פונקציות מרוכבות מתנהגות בצורה שונה בהרבה מפונקציות ממשיות, בין השאר כנגזרת לאיסור על מעברי בסיס אלו.

שורשים של [עריכת קוד מקור | עריכה]

ייצוג השורשים הריבועיים של i במישור המרוכב
ייצוג של השורשים של i ממעלה 3 על המישור המרוכב

ל יש שני שורשים ריבועיים שהם:

נוכיח את נכונות הטענה:

ולכן נוכל לכתוב

ל יש שלושה שורשים ממעלה שלישית[עריכת קוד מקור | עריכה]

נוכל ל הכליל את שורשי i ממעלה n כאשר השורשים מסודרים באופן אחיד אם הפרשי פאזה שווים על מעגל היחידה, כאשר הפאזה נקבעת לפי , כלומר השורש ממעלה n, מספר k של i יהיה:

פעולות נוספות שכוללות את [עריכת קוד מקור | עריכה]

כפל של i במספר מרוכב:

הופכי של i:

חילוק ב i:

שקול לסיבוב המספר המרוכב בפאזה של 90 מעלות.
עצרת

וכן

[1]

פעולות נוספות[עריכת קוד מקור | עריכה]

נשים לב שכל הפעולות האלו נבחרו ביחס לענף הראשי של הפונקציות הרב ערכיות במישור המרוכב.

סימונים שונים[עריכת קוד מקור | עריכה]

בענפי מדע רבים, כגון הנדסת חשמל, נוהגים להחליף את השם של היחידה המדומה מ־i ל־j עקב החשש לבלבול בסימון בין היחידה הדמיונית והזרם החשמלי שגם הוא מסומן ב־i קטנה. בהתאם לכך, שפת התכנות "פייתון" מסמנת את היחידה המדומה ב־j, ושפת התכנות MATLAB מקבלת את שני הסימונים.

חלק מספרי הלימוד משמשיים באות היוונית יוטא: כדי למנוע בלבול עם אינדקסים שמסומנים באות הלטינית i.

לקריאה נוספת[עריכת קוד מקור | עריכה]

  • Nahin, Paul J. (1998). An Imaginary Tale: The Story of √−1. Chichester: Princeton University Press. ISBN 0-691-02795-1. 

קישורים חיצוניים[עריכת קוד מקור | עריכה]

הערות שוליים[עריכת קוד מקור | עריכה]

  1. ^ abs(i!)", באתר WolframAlpha