ביליארד דינמי

שולחן הביליארד של בונימוביץ' (Bunimovich) הוא מלבן אשר שתי צלעות נגדיות שלו הוחלפו בחצאי מעגלים ומהווה את אחת הדוגמאות הפשוטות ביותר למערכת דינמית כאוטית. תנועת חלקיקים בשולחן זה מגלה רגישות גבוהה לתנאי ההתחלה, והיא בעלת התבדרות אקספוננציאלית של המסלולים (התרחקות מהירה של מסלולים בעלי תנאי התחלה כמעט זהים).

ביליארד דינמי, במתמטיקה, הוא מערכת דינמית שבה התנועה של חלקיק מורכבת מתנועה לאורך קו ישר בתוך תחום מסוים, ומהחזרות ראי כאשר הוא מגיע לשפת התחום. כאשר החלקיק פוגע בשפה הוא מוחזר ממנה ללא אובדן מהירות. מערכות ביליארד דינמי הן אידיאליזציות המילטוניאניות של משחק הביליארד, ומתייחסות למצבים בהם לאזור התחום על ידי השפה יכול להיות צורות אחרות חוץ מהצורה המלבנית ועשוי אף להיות רב-ממדי. מערכות ביליארד דינמי נחקרות גם על מרחבים בעלי גאומטריה לא אוקלידית. החקר של מערכות ביליארד דינמי בהם החלקיק נשמר מחוץ לתחום מסוים, במקום להישמר בתוך תחום מסוים, נקרא תאוריית הביליארד החיצוני.

התנועה של חלקיק בביליארד בין החזרה להחזרה היא לאורך קו ישר, באנרגיה קבועה (תנועתו היא מסילה גאודזית אם המטריקה הרימנית של השולחן אינה שטוחה). כל ההחזרות הן החזרות ראי: זווית הפגיעה רגע לפני ההתנגשות שווה לזווית ההחזרה מיד עם סיום ההתנגשות. סדרת ההחזרות של החלקיק מתוארת על ידי מיפוי הביליארד שמאפיין את תנועת החלקיק.

מערכות ביליארד דינמי "לוכדות" במובן מסוים את כל המורכבויות של מערכות דינמיות, מאינטגרביליות לתנועה כאוטית, וזאת מבלי הקשיים הכרוכים בביצוע אינטגרציה רציפה של משוואות התנועה, שלרוב הן סבוכות מאוד. בירקהוף הראה שמערכת ביליארד עם שולחן אליפטי היא אינטגרבילית.

מערכות ביליארד מפורסמות

מערכת אדמר

הביליארד של אדמר מתייחס לתנועה של חלקיק על משטח בעל עקמומיות שלילית קבועה, ובאופן ספציפי לתנועה על משטח רימן קומפקטי הפשוט ביותר בעל עקמומיות שלילית קבועה, משטח בעל גנוס 2 (טורוס עם שני חורים). המודל הזה פתיר במדויק, וניתן על ידי הזרימה הגאודזית על המשטח. זו הדוגמה הראשונה שנמצאה אי פעם להתנהגות כאוטית דטרמיניסטית, והיא הוצגה על ידי ז'אק אדמר ב-1898. אדמר אף נתן ביטוי מפורש למידת הכאוטיות של המערכת (מעריך ליאפונוב) בתלות בערך הקבוע של העקמומיות השלילית על המשטח: $\lambda ={\sqrt {\frac {2E}{mR^{2}}}}$, כאשר $K=-1/R^{2}$ היא העקמומיות הקבועה.

גז לורנץ

מסלול במודל של גז לורנץ.

השולחן של המודל של גז לורנץ הוא ריבוע עם דיסק שהוסר ממרכזו; השולחן שטוח, ואין לו עקמומיות. במודל זה חוקרים את ההתנהגות של שני דיסקים שמקיימים אינטראקציה אחד עם השני בתוך הריבוע, ומוחזרים מגבולות הריבוע ואחד מהשני. באמצעות אלימינציה של מיקום מרכז המסה כמשתנה קונפיגורציה, ניתן לפשט את הדינמיקה של שני הדיסקים.

מערכת הביליארד הזאת הוצגה על ידי יעקב סיני כדוגמה של מערכת מתמטית מופשטת שמציגה תכונות פיזיקליות תרמודינמיות: כל המסלולים האפשריים שלה הם ארגודיים ויש לה מעריך ליאפונוב חיובי.

הישגו הגדול של סיני בנוגע למודל הזה היה להראות שמודל בולצמן-גיבס הקלאסי של גז אידיאלי הוא מבחינה מהותית מערכת אדמר בעלת כאוס מקסימלי. כיוון שזהו מבחינה מהותית סוג של מודל של גז, הביליארד של סיני נקרא גז לורנץ.

יישומים

לנושא של דינמיקה של כדורי ביליארד יש אנלוגיה מעניינת בתורת הגלים, זאת שכן חוקי ההחזרה של גלים זהים לאלו של חלקיקים. למשל, ניתן להסיק מהכאוטיות של מערכות ביליארד מסוימות שבבריכות גלים עם מקור גלים נקודתי (שהפסיק לחולל גלים), ובעלות צורה של ביליארד דינמי, ההתפלגות של עוצמת הגל בנקודה מסוימת לאורך מספיק זמן היא בדיוק נורמלית. זה נובע ישירות מהעובדה שמערכות כאוטיות מתנהגות כעבור זמן ארוך בהרבה מזמן ליאפונוב שלהן בצורה אקראית. כיוון שנוצרת התאבכות בונה בנקודות מסוימת, האמפליטודה של הגל בנקודה מסוימת, שהיא סכום התרומות הזעירות של חלקי הגל הראשוני השונים, מתנהגת לפיכך בהתאם להתפלגות בינומית (בגלל האקראיות המושלמת, שגוררת התפלגות אחידה). כיוון שהתפלגות נורמלית היא למעשה התפלגות בינומית בגבול של אינסוף ניסיונות, נקבל את המסקנה לעיל.

כיוון שבמכניקת הקוונטים נהוג למדל חלקיקים על ידי גלים, האנלוגיה הזאת רלוונטית לתחום של כאוס קוונטי.

קישורים חיצוניים

• ביליארד דינמי, באתר MathWorld (באנגלית)