מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
כלל לייבניץ (מכונה גם כלל המכפלה ) הוא כלל העוסק בגזירת מכפלות של פונקציות הקרוי על שמו של גוטפריד וילהלם לייבניץ .
הכלל המקורי עוסק בנגזרת ראשונה של מכפלת פונקציות:
(
f
g
)
′
=
f
′
g
+
f
g
′
{\displaystyle \left(fg\right)'=f'g+fg'}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
d
(
u
v
)
d
x
=
d
u
d
x
v
+
u
d
v
d
x
{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (uv)}{\mathrm {d} x}}={\frac {\mathrm {d} u}{\mathrm {d} x}}v+u{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} x}}}
מכלל לייבניץ הבסיסי אפשר לפתח את נוסחת האינטגרציה בחלקים :
∫
u
v
′
d
x
=
u
v
−
∫
u
′
v
d
x
{\displaystyle \int uv'\,\mathrm {d} x=uv-\int u'v\,\mathrm {d} x}
ניתן להוכיח את כלל לייבניץ ישירות על ידי חישוב הנגזרת:
(
f
⋅
g
)
′
(
x
)
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
g
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
g
(
x
)
h
=
{\displaystyle \ (f\cdot g)^{\prime }(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}=}
=
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
[
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
]
+
f
(
x
)
[
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
]
h
=
{\displaystyle \ =\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}}=}
=
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
−
f
(
x
)
h
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
+
lim
h
→
0
f
(
x
)
⋅
lim
h
→
0
g
(
x
+
h
)
−
g
(
x
)
h
=
{\displaystyle \ =\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\cdot \lim _{h\to 0}g(x+h)+\lim _{h\to 0}f(x)\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}=}
=
f
′
(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \ =f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)}
לפונקציות חיוביות, ניתן להוכיח את הכלל על ידי שימוש בכלל השרשרת ובתכונות של הלוגריתם הטבעי :
f
,
g
{\displaystyle \ f,g}
ln
(
f
g
)
=
ln
f
+
ln
g
{\displaystyle \ \ln \ (fg)=\ln \ f+\ln \ g}
(
f
g
)
′
f
g
=
f
′
f
+
g
′
g
{\displaystyle \ {\frac {(fg)'}{fg}}={\frac {f'}{f}}+{\frac {g'}{g}}}
לייבניץ הכליל את הנוסחה לנגזרת ה-
n
{\displaystyle n}
(
f
⋅
g
)
(
n
)
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
f
(
k
)
g
(
n
−
k
)
{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}
כאשר
(
n
k
)
{\displaystyle {n \choose k}}
המקדם הבינומי . הביטוי דומה מאוד לבינום של ניוטון :
(
a
+
b
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
a
k
b
n
−
k
{\displaystyle (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{k}b^{n-k}}
הדמיון אינו מקרי, כי את שתי הנוסחאות מוכיחים בצורה זהה באמצעות אינדוקציה , ושתיהן נשענות על אותו רעיון קומבינטורי.
ניתן להשתמש בכלל כדי לגזור מכפלה של כמה פונקציות. לדוגמה:
(
u
v
w
)
′
=
u
′
v
w
+
u
v
′
w
+
u
v
w
′
{\displaystyle \ (uvw)'=u'vw+uv'w+uvw'}
(
u
v
w
z
)
′
=
u
′
v
w
z
+
u
v
′
w
z
+
u
v
w
′
z
+
u
v
w
z
′
{\displaystyle \ (uvwz)'=u'vwz+uv'wz+uvw'z+uvwz'}
באופן כללי, אם הפונקציה היא
f
(
x
)
=
∏
i
=
1
n
f
i
(
x
)
{\displaystyle f(x)=\prod _{i=1}^{n}f_{i}(x)}
f
′
=
∑
i
=
1
n
f
i
′
∏
k
=
1
k
≠
i
n
f
k
{\displaystyle f'=\sum _{i=1}^{n}f_{i}'\prod _{k=1 \atop k\neq i}^{n}f_{k}}
אם אף אחת מהפונקציות לא שווה ל-
0
{\displaystyle 0}
(
f
1
⋯
f
n
)
′
f
1
⋯
f
n
=
f
1
′
f
1
+
⋯
+
f
n
′
f
n
{\displaystyle {\frac {(f_{1}\cdots f_{n})'}{f_{1}\cdots f_{n}}}={\frac {f_{1}'}{f_{1}}}+\cdots +{\frac {f_{n}'}{f_{n}}}}
![{\displaystyle \ =\lim _{h\to 0}{\frac {g(x+h)[f(x+h)-f(x)]+f(x)[g(x+h)-g(x)]}{h}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e9fa850050614c99e9d7ca198e1849e5a24fa0e)
