מומנט כבידתי

מומנטים כבידתיים (באנגלית: Gravitational moment) הם סדרה של קבועים חסרי ממדים המתארים את התפלגות המסה בגרם שמיים, כגון כוכב לכת, כוכב או ירח. קבועים אלו ניתנים למדידה אמפירית ולחישוב לפי הנוסחה:

$J_{n}={\frac {1}{MR^{n}}}\int _{0}^{R}\int _{-1}^{1}r^{n}P_{n}(\mu )\rho (r,\mu )2\pi r^{2}d\mu dr$

כאשר:

• M היא מסת הגרם
• R היא רדיוס הגרם
• $P_{n}$ הם פולינומי לז'נדר
• $\mu \equiv \cos \theta$ ו$\theta$ נתונה בקואורדינטות גליליות.

למומטים אלו ישנה חשיבות גובהה במדעים פלנטריים, מכיוון שהם משקפים היטב את המבנה הפנימי של גרם השמיים. ניתן להתייחס למסת הגרם כ-$J_{0}$.

הגופים הנחקרים הם בקירוב טוב גופי סיבוב ולכן מניחים סימטריה גלילית. בנוסף, מניחים לרוב סימטריה בין ההמיספירה (חצי כדור) העליונה לתחתונה, דבר המאפס את כל המומנטים האי-זוגיים:

$J_{3}=J_{5}=J_{7}=...=0$

הנחה זו לאו דווקא נכונה ובמציאות נמדד $J_{3}$ עבור צדק, אך גודלו המדוד קטן במספר סדרי גודל משגיאת המדידה ולכן הוא מוזנח לרוב בחישובים. לרוב הגודל המשמעותי באמת לצורכי אפיון הגרם הוא $J_{2}$ הניתן לחישוב קל יחסית לפי הנוסחה:

$J_{2}={\frac {R_{\text{pole}}-R_{\text{eq}}}{MR^{2}}}$

כאשר $R_{\text{eq}}$ הוא רדיוס בקו המשווה ו-$R_{\text{pole}}$ הוא רדיוס בקוטב. שני רדיוסים אלו שונים עקב פחיסות של הגרם, כמפורט בהמשך. ל$J_{2}$ קוראים לעיתים "פקטור צורה דינמי"( "dynamic form factor").

מומנטים אלו נמדדו על ידי גשושיות שנשלחו לחקור את ענקי הגזים במערכת השמש.

הקשר לסיבוב עצמי

במקרה של סימטריה כדורית, למומנטים כביתיים אין משמעות והפוטנציאל הכבידתי נתון על ידי $V(r)=-{\frac {GM}{r}}$. כאשר M היא מסת הגרם, G הוא קבוע הכבידה וr הוא המרחק ממרכז הגרם. זה קירוב מקובל לרוב לעבור כוכבים, כאשר מזניחים את הסיבוב העצמי של הכוכב. עבור ירחים וכוכבי לכת, קירוב זה אינו משקף היטב את הפיזיקה מכיוון שהסיבוב העצמי שלהם יכול להיות מספיק מהיר בשביל לגרום לפחיסות בצורתם. במקרה כזה, הפוטנציאל הכבידתי נתון על ידי:

$V(r,\theta )=-{\frac {GM}{r}}\left[1-\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {R_{eq}}{r}}\right)^{n}J_{n}P_{n}(\cos \theta )\right]$

בסימונים שתוארו בפסקה הקודמת.

ראו גם

• מומנט התמד פולרי מנורמל