הומומורפיזם

באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם חד-חד-ערכי ועל שההופכי שלו הוא הומומורפיזם נקרא איזומורפיזם.

מבנים שיש ביניהם איזומורפיזם נקראים איזומורפיים. האיזומורפיזם מתרגם במקרה כזה כל תכונה של המבנה הראשון אל המבנה השני, באופן שלא ניתן להבחין ביניהם בשפה של התורה שאליה הם שייכים.

דוגמאות

• הומומורפיזם בין חבורות הוא פונקציה $\varphi G\rightarrow H$ שעבורה $\,\!\varphi (g_{1}\cdot g_{2})=\varphi (g_{1})\cdot \varphi (g_{2})$ לכל $\ g_{1},g_{2}\in G$. הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של $\ G$, ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של $\ H$. מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של G עובר לאיבר היחידה של H, ולכן אין צורך לדרוש תכונה זו במפורש.
• הומומורפיזם בין מרחבים ליניאריים נקרא העתקה לינארית. זוהי פונקציה מן הוקטורים של מרחב V מעל שדה F, אל הוקטורים של מרחב W מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: $\ \varphi (v_{1}+v_{2})=\varphi (v_{1})+\varphi (v_{2})$ (לכל שני וקטורים $\ v_{1},v_{2}\in V$) ו-$\ \varphi (\alpha \cdot v)=\alpha \cdot \varphi (v)$ (לכל וקטור $\ v\in V$ וסקלר $\ \alpha \in F$. אותן דרישות, בהחלפת השדה F בחוג כלשהו R, מגדירות הומומורפיזם בין מודולים. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל מרחב האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.

1. הומומורפיזם בין חוגים הוא פונקציה $\ \varphi :R\rightarrow S$ (כאשר $\ R,S$ הם חוגים עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של R לאיבר היחידה של S. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא תחום שלמות, או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.

הגרעין והתמונה

נניח ש-$\ \varphi :A\rightarrow B$ הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. התמונה היא אוסף האברים $\ \operatorname {Im} (\varphi )$ של B המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי A. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הוקטורים $\ \operatorname {Ker} (\varphi )$ של A העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא הגרעין של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של תורת הקטגוריות.

בחבורות, לדוגמא, התמונה היא תת-חבורה של B, ואילו הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של B.

קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (חבורת מנה, חוג מנה, מודול מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: $\ A/\operatorname {Ker} (\varphi )\cong \operatorname {Im} (\varphi )$.

הומומורפיזם מיוחדים

בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים.

• הומומורפיזם חד-חד ערכי נקרא שיכון או מונומורפיזם.
• הומומורפיזם על נקרא אפימורפיזם.
• הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם.
• הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא אנדומורפיזם. (אנדו = פנימי)
• איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא אוטומורפיזם. (אוטו = עצמי)