תורת ההפרעות (מכניקת הקוונטים)

תבנית:שכתוב תורת ההפרעות היא שיטה לפתרון מקורב של בעיות מסובכות במכניקת הקוונטים, על ידי שימוש בתורת ההפרעות המתמטית.

רקע

השיטה מתבססת על חלוקת ההמילטוניאן של המערכת לשני חלקים:

1. ההמילטוניאן הלא מופרע - לרוב המילטוניאן אותו ניתן לפתור או שיש לו קירובים ידועים יותר
2. ההפרעה - ביטוי התורם לאנרגיה וקשה לחשב אותו

ניתן לחזור על חלוקה זו מספר פעמים וזאת בתנאי שההפרעה בכל שלב היא קטנה יותר בסדרי גודל מההפרעות הקודמות.

שיטה זו נדרשת כיוון שהספקטרום האנרגטי (ומצבי המערכת) אינם ניתנים לחישוב מדויק במרבית האטומים (פרט לאטומים דמויי מימן) והמולקולות .

אפשרויות אחרות לחישוב זה כוללות בין השאר:

1. ביצוע שיטת הוואריציה על ההמילטוניאן כפונקציונל של פונקציית הגל ומציאת מינימום האנרגיה (מתאים לחישוב אנרגיית היסוד).
2. חישוב בעזרת אנליזה נומרית של הערכים.

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן

תורת ההפרעות שאינה תלויה בזמן היא מקרה פרטי של תורת ההפרעות כאשר ההמילטוניאן המייצג את המערכת אינו משתנה בזמן. את השיטה פיתח ארווין שרדינגר ב-1926.

התיקונים הראשונים (סיכום הנוסחאות)

נתון המילטוניאן לא מופרע, ונניח שיודעים לחשב את המצבים העצמיים והאנרגיות העצמיות שלו (ערכים עצמיים):

$\ H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle$

נוסיף להמילטוניאן הפרעה, כלומר פוטנציאל חלש יחסית, כאשר $\lambda \ll 1$:

$\ H=H_{0}+\lambda V$

האנרגיות המתוקנות יהיו:

$\ E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$

כאשר

התיקון הראשון לאנרגיה: $E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

התיקון השני לאנרגיה: $E_{n}^{(2)}=\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}$

המצבים המתוקנים יהיו:

$\ |n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots$

כאשר

$|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle$

ואין ניוון.

פיתוח מתמטי

נתחיל בהמילטוניאן הלא מופרע, H₀, ונניח שאינו תלוי בזמן, ושאנו יודעים את רמות האנרגיה שלו והמצבים העצמיים שלו, הנובעים ממשוואת שרדינגר הבלתי תלויה בזמן:

$H_{0}|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(0)}\rangle \quad ,\quad n=1,2,3,\cdots$

לשם פשטות, נניח כי ספקטרום האנרגיות דיסקרטי. ה$(0)$ העליון מסמל גדלים ששייכים למערכת הבלתי מופרעת.

כעת נציג את ההפרעה להמילטוניאן. יהי V פוטנציאל פיזיקלי חלש, ו־$\lambda$ גודל חסר ממדים, המבטא את חוזק ההפרעה ומקבל ערכים בין 0 (כלומר, אין הפרעה) ל־1 (הפרעה במלואה). ההמילוטניאן המופרע הוא לפיכך

$\ H=H_{0}+\lambda V$

רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן המופרע נתונים על ידי משוואת שרדינגר:

$\left(H_{0}+\lambda V\right)|n\rangle =E_{n}|n\rangle$

המטרה שלנו היא לבטא את E_n ו־$|n\rangle$ באמצעות רמות האנרגיה והמצבים העצמיים של ההמילטוניאן הישן. אם ההפרעה אכן חלשה, ניתן לכתוב אותם כטור חזקות ב־λ:

$E_{n}=E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots$

$|n\rangle =|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\lambda ^{2}|n^{(2)}\rangle +\cdots$

כאשר λ = 0, אנו חוזרים לערכים של מצב הלא מופרע, ולכן הם סדר אפס של הטורים. בגלל שההפרעה היא חלשה, האיברים הבאים קטנים והולכים ככל שאנו בסדר גבוה יותר.

נציב את טור החזקות במשוואת שרדינגר, ונקבל:

${\begin{matrix}\left(H_{0}+\lambda V\right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\qquad \qquad \qquad \qquad \\\qquad \qquad =\left(E_{n}^{(0)}+\lambda E_{n}^{(1)}+\lambda ^{2}E_{n}^{(2)}+\cdots \right)\left(|n^{(0)}\rangle +\lambda |n^{(1)}\rangle +\cdots \right)\end{matrix}}$

נפתח את המשוואה ונשווה איברים מסדר זהה ב־λ, וכך נקבל סדרה אינסופית של משוואות מצומדות. המשוואה מסדר אפס היא כמובן משוואת שרדינגר להמילטוניאן הלא מופרע. המשוואה עבור הסדר הראשון היא

$H_{0}|n^{(1)}\rangle +V|n^{(0)}\rangle =E_{n}^{(0)}|n^{(1)}\rangle +E_{n}^{(1)}|n^{(0)}\rangle$

נכפיל את שני האגפים ב&$|n^{(0)}\rangle$. האיבר הראשון באגף ימין מתבטל עם השני עם האיבר הראשון באגף שמאל, ולכן השינוי באנרגיה מסדר ראשון הוא:

$E_{n}^{(1)}=\langle n^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle$

זה פשוט ערך תצפית של ההפרעה כאשר המערכת במצב לא מופרע. בכדי לבטא את השינוי מסדר הראשון במצבים העצמיים, נכניס את הביטוי לשינוי מסדר ראשון באנרגיה חזרה במשוואה למעלה, ונשתמש בזהות

$V|n^{(0)}\rangle =\left(\sum _{k}|k^{(0)}\rangle \langle k^{(0)}|\right)V|n^{(0)}\rangle$

התוצאה היא

$\left(E_{n}^{(0)}-H_{0}\right)|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}\left(\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle \right)|k^{(0)}\rangle$

נניח שהרמה הזו אינה מנוונת. ולכן לאופרטור מצד שמאל יש הופכי מוגדר היטב, ונקבל:

$|n^{(1)}\rangle =\sum _{k\neq n}{\frac {\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle }{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}|k^{(0)}\rangle$

ניתן לקבל גם סדרים גבוהים יותר של תיקונים, אם כי החישוב נעשה מסובך יותר. לדוגמה, תיקון מסדר שני ניתן על ידי:

$E_{n}^{(2)}=\sum _{k\neq n}{\frac {|\langle k^{(0)}|V|n^{(0)}\rangle |^{2}}{E_{n}^{(0)}-E_{k}^{(0)}}}$

עבור רמת היסוד מקבלים כי תיקון זה הוא תמיד שלילי (המונה הוא תמיד חיובי והמכנה מתקבל מחיסור אנרגיית מצב מעורר מאנרגיית מצב היסוד - ערך שהוא תמיד שלילי).

במקרה בו קיים ניוון התיקון מסדר ראשון לאנרגיה נקבע על ידי הערכים העצמיים של הפוטנציאל בתת-המרחב המנוון.

תורת ההפרעות התלויה בזמן

ערך מורחב – תורת ההפרעות התלויה בזמן

ישנן טכניקות לשימוש בתורת ההפרעות גם כאשר להמילטוניאן המייצג את המערכת נוספת הפרעה המשתנה בזמן. בתורת ההפרעות התלויה בזמן בדרך כלל מנסים לחשב כיצד תעבור המערכת בין מצביה העצמיים (הלא מופרעים) בעקבות ההפרעה.