מבחני התחלקות

מבחן חלוקה (נקרא גם סימן חלוקה או מבחן התחלקות) הוא דרך מהירה ונוחה לקבוע בבסיס מסוים מתי מספר שלם מסוים מתחלק במספר שלם a ללא שארית. מבחני החלוקה שונים זה מזה, בהתאם לטבעו העשרוני של המספר a, אך לכולם אותו עקרון: צמצום המספר הנבדק למספר פשוט יותר, על ידי חיסור מספר המתחלק ב- a. חלקם (כמו סימני החלוקה ב2,3,4,5,11) נותנים גם את השארית וחלקם (כמו 7,13) רק את העובדה שהמספר מתחלק או לאו.

מבחני חלוקה בסיסיים

להלן רשימה של מבחני חלוקה עבור המספרים הטבעיים הראשונים בשיטה העשרונית:

• כל מספר טבעי מתחלק ב-1.
• מספר מתחלק ב-2 (ראו הסבר מורחב) (נקרא גם מספר זוגי) אם ורק אם ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-2 (זוגית).
• מספר מתחלק ב-3 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-3 (למשל: 1962 מתחלק ב-3 כי סכום ספרותיו הוא 18).
• מספר מתחלק ב-4 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם המספר שיוצרות שתי ספרותיו הימניות מתחלק ב-4 (ספרת העשרות זוגית וספרת האחדות מתחלקת בארבע או ספרת העשרות אי זוגית וספרת האחדות זוגית אך אינה מתחלקת ב-4).
• מספר מתחלק ב-5 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם ספרת האחדות שלו מתחלקת ב-5 (כלומר, היא 0 או 5).
• מספר מתחלק ב-6 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-3.
• מספר מתחלק ב-7 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש $\ 22-2\cdot 4=14$. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאיננו יודעים אם הוא מתחלק ב -7, ניתן לחזור על התהליך שוב. יש לשים לב כי בניגוד למבחני ההתחלקות הקודמים, במקרה זה לא ניתן לדעת בעזרת המבחן מהי השארית בחלוקה ב 7, אלא רק אם המספר הנתון מתחלק ב 7 או לא.
• מספר מתחלק ב-8 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם המספר שיוצרות שלוש ספרותיו הימניות מתחלק ב-8. יתרה מזאת - השארית בחלוקה לשמונה של שלוש הספרות האחרונות שווה לזו של המספר המקורי.
• מספר מתחלק ב-9 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9.
• מספר מתחלק ב-10 אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 0.
• מספר מתחלק ב-11 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-11. למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן $\ 9-2+4=11$.
• מספר מתחלק ב-12 אם ורק אם הוא מתחלק ב-3 וגם ב-4.
• מספר מתחלק ב-13 (ראו הסבר מורחב) אם ורק אם כשמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת ב 4, מתקבל מספר המתחלק ב-13. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאין אנו יודעים אם הוא מתחלק ב -13, ניתן לחזור על התהליך שוב. למשל, $\ 234$ מתחלק ב 13 כי $23+4\cdot 4=39=3\cdot 13$.
• מספר מתחלק ב 14 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-7.
• מספר מתחלק ב 15 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-3 וגם ב-5.
• מספר מתחלק ב 18 אם ורק אם הוא מתחלק גם ב-2 וגם ב-9.
• מספר מתחלק ב-19 אם ורק אם לאחר שמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-19. למשל, 209 מתחלק ב-19 כיוון ש $\ 20+2\cdot 9=38$. מובן שאם עדיין מתקבל מספר שאיננו יודעים אם הוא מתחלק ב -19 , ניתן לחזור על התהליך שוב.
• מספר מתחלק ב-23 אם ורק אם לאחר שמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשבע, מתקבל מספר שמתחלק ב-23. למשל, 414 מתחלק ב-23 כיוון ש- $41+7\cdot 4=69$ , 69 מתחלק ב-23.
• מספר מתחלק ב-29 אם ורק אם הוספת 3 פעמים הספרה האחרונה למספר שמתקבל מהורדת הספרה האחרונה מתחלק ב-29 למשל 319 מתחלק ב-29

$31+3\cdot 9=58$

• מספר מתחלק ב-31 אם ורק אם הורדת 3 פעמים הספרה האחרונה למספר שמתקבל מהורדת הספרה האחרונה מתחלק ב-31 למשל 341 מתחלק ב-31

$34-3\cdot 1=31$

• מספר מתחלק ב-100 אם הוא נגמר בשני אפסים (00), ב-1000 אם הוא נגמר בשלושה אפסים (000) וכך הלאה.

באופן כללי, אם המספרים n,m זרים, כגון 3 ו- 4, אז מספר מתחלק במכפלתם אם ורק אם הוא מתחלק בכל אחד מהם לעצמו. לכן סימן החלוקה ב- nm הוא שילוב של שני הסימנים. לדוגמה, המספר 216 מתחלק ב-12=3*4 , מכיוון שהוא מתחלק ב- 3 (סכום ספרותיו 9), וגם ב- 4 (המספר 16 מתחלק ב- 4).

2

מספר מתחלק ב 2 אם ורק אם ספרת היחידות שלו מתחלקת ב 2. במילים אחרות, מספר הוא זוגי, אם ורק אם ספרת היחידות שלו היא זוגית. לדוגמה, המספרים 8, 72 ו-9746 הם זוגיים, והמספרים 3, 79 ו-957 הם אי-זוגיים.

3

מספר מתחלק ב-3 אם ורק אם סכום הספרות שלו מתחלק ב-3. לדוגמה, המספר 201 מתחלק ב 3 כי סכום הספרות הוא 2+0+1=3. גם המספר 837 מתחלק בשלוש כי סכום הספרות הוא 8+3+7=18, ו-18 מתחלק ב-3 כי סכום הספרות של 18 הוא 1+8=9, ו-9 מתחלק בשלוש. המספר 65 לא מתחלק ב-3 כי 6+5=11, ו-11 לא מתחלק בשלוש (כי 1+1=2).

4

מספר מתחלק ב 4 אם ורק אם המספר שיוצרות שתי הספרות האחרונות שלו מתחלק ב 4. לדוגמה, המספר 1,832 מתחלק ב 4 כי 32 מתחלק ב 4 $(32=4\cdot 8)$. המספר 98,214 לא מתחלק ב 4, כי המספר 14 לא מתחלק ב 4.

5

מספר מתחלק בחמש אם ורק אם ספרת האחדות שלו היא 5 או 0. במילים אחרות - מספר מתחלק בחמש אם ורק אם ספרת היחידות שלו מתחלקת בחמש.

לדוגמה, המספרים 85, 100 ו 84,535 מתחלקים בחמש, והמספרים 94, 758, ו74,542 אינם מתחלקים בחמש.

7

מספר מתחלק בשבע אם ורק אם לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בשתיים, מקבלים מספר שמתחלק ב-7. למשל, 224 מתחלק ב-7 כיוון ש $\ 22-2\cdot 4=14$.

8

מספר מתחלק ב-8 אם ורק אם המספר שיוצרות שלוש ספרותיו הימניות מתחלק ב-8. עוד דרך היא לבדוק אם המספר מתחלק ב4 ולאחר מכן ב2 בלי שארית.

9

מספר מתחלק ב-9 אם ורק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-9. לחלופין מספר חיובי מתחלק ב-9 אם ורק אם סכום הספרות הסופי שלו שווה ל-9.

11

מספר מתחלק ב-11 אם ורק אם לאחר שמחסרים ומחברים לסירוגין את ספרותיו מתקבל מספר שמתחלק ב-11 למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן 11 = 4 + 2 - 9.

דרך נוספת: מספר מתחלק ב-11 אם ורק אם לאחר שמחסרים מהמספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות, מתקבל מספר שמתחלק ב-11 למשל, 924 מתחלק ב-11 שכן 88 = 4 - 92

13

מספר מתחלק ב 13 אם ורק אם לאחר שמוסיפים למספר ללא ספרת האחדות את ספרת האחדות מוכפלת בארבע, מקבלים מספר שמתחלק ב-13. למשל, 234 מתחלק ב-13 כיוון ש $\ 23+4\cdot 4=39$.

19

מספר 10a+b מתחלק ב 19 אם ורק אם a+2b מתחלק ב-19. לדוגמה, כדי לבדוק את המספר 51471 מחשבים את $\ 5147+2\times 1=5149$; המספר הזה מתחלק ב-19 כי $\ 514+2\times 9=532$ מתחלק ב-19.

מבחני חלוקה התלויים בבסיס הספירה

באופן כללי, אם מספר נתון בבסיס ספירה b, ניתן לבדוק אם הוא מתחלק ב-b-1 או בכל מחלק של b-1 על ידי סיכום ספרותיו, כפי שנעשה עבור 9 ו-3 בבסיס 10. כך למשל עבור מספר שנתון בבסיס 8 די לבדוק אם סכום ספרותיו מתחלק ב-7 כדי לדעת אם המספר כולו מתחלק ב-7. ההסבר זהה להסבר של סימן החלוקה של 3 ו 9.

באופן דומה, אם מספר נתון בבסיס ספירה b, ניתן לבדוק אם הוא מתחלק ב-b+1, על ידי חיבור וחיסור ספרותיו לסירוגין, כפי שנעשה עבור 11.

מבחני התחלקות כלליים

המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+1 אם ורק אם x+(9a+1)y מתחלק ב- 10a+1
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+3 אם ורק אם x+(3a+1)y מתחלק ב- 10a+3
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+7 אם ורק אם x+(7a+5)y מתחלק ב- 10a+7
המספר 10x+y מתחלק ב- 10a+9 אם ורק אם x+(a+1)y מתחלק ב- 10a+9

ישנם מקרים בהם שני המחלקים שווים, ואז שיטת הבדיקה הזו אינה מועילה.
במקרים כאלה אפשר להפחית מהמחולק הראשון את המחלק ואז המחלק השני יהיה שונה.