פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־01:34, 10 בפברואר 2006

ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זתה של רימן, ראו פונקציית זתה של רימן.

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית מוגדרת כדלהלן:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{q}}&{\mbox{if }}x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} ,\quad p,q\ \ {\mbox{relatively prime integers}},q>0\\0&{\mbox{if }}x\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

(ב- $\,x=0$ ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).

פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו.
אין קטע שהיא מונוטונית בו.
קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).

הערה על שם הפונקציה

בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:

פונקציית הסרגל
פונקציית הפופקורן
פונקציית תומה (Thomae's function)

הוכחה

נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.

אי רציפות במספרים הרציונלים

יהי $x_{0}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ , כאשר $\,p,q$ שלמים זרים ו- $\,q>0$ . מכאן ש- $f(x_{0})={\frac {1}{q}}$ . נראה כי $\,f$ אינה רציפה ב- $\,x_{0}$ . קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ של מספרים אי רציונלים המקיימת $x_{n}\to x_{0}$ . לכל $\,n$ מתקיים $\,f(x_{n})=0$ , ולכן $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=0\neq f(x_{0})={\frac {1}{q}}$ , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב- $\,x_{0}$ .

רציפות במספרים האי רציונלים

יהי $x_{0}\in \mathbb {R} -\mathbb {Q}$ (כלומר $\,x_{0}$ אי רציונלי), נראה ש- $\,f$ רציפה ב- $\,x_{0}$ . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי $\varepsilon >0$ . יש למצוא $\,\delta >0$ כך שאם $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ . ואמנם, יהי $\,N$ מספר טבעי המקיים $N>{\frac {1}{\varepsilon }}$ . נעיין בקטע $\,I=(x_{0}-1,x_{0}+1)$ . לכל $\,q$ טבעי יש בקטע $\,I$ מספר סופי של מספרים מן הצורה ${\frac {p}{q}}$ , כלומר, הקבוצה $A_{q}=\left\{{\frac {p}{q}}\left|{\frac {p}{q}}\in I\right.\right\}$ היא סופית לכל $\,q$ . מכאן גם שהקבוצה $A=\bigcup _{q=1}^{N-1}A_{q}$ היא סופית (איחוד סופי של קבוצות סופיות). כלומר, אוסף המספרים הרציונלים בקטע $\,I$ בהם המכנה קטן מ- $\,N$ הוא סופי. יהיה $r\in A$ הקרוב ביותר ל- $\,x_{0}$ (קיים כזה כי $\,A$ סופית). נסמן $\,\delta ={\frac {|x_{0}-r|}{2}}$ . נשים לב כי מכיוון ש- $\,r$ רציונלי ו- $\,x_{0}$ אינו רציונלי, הרי ש- $\,\delta >0$ . יהי $\,x\in \mathbb {R}$ המקיים $\,|x-x_{0}|<\delta$ . ייתכנו שתי אפשרויות:

$\,x\notin \mathbb {Q}$ ואז $\,f(x)=0$ , ומכאן $|f(x)-f(x_{0})|=0<\varepsilon$ .
$\,x={\frac {p_{0}}{q_{0}}}\in \mathbb {Q}$ . מכיוון שמרחקו של $\,x$ מ- $\,x_{0}$ קטן מ- $\,\delta$ הרי ברור ש- $\,x\notin A$ ולכן $\,q_{0}>N$ . מכאן ש- $|f(x)-f(x_{0})|=|{\frac {1}{q_{0}}}-0|<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$ .

כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם $\,|x-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ , ומכאן ש- $\,f$ רציפה ב- $\,x_{0}$ . תושלב"ע.

ראו גם

@@ שורה 9: / שורה 9: @@
 </math>
 </center>
-(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא אפס, כמו בכל מספר שלם).
+(ב-<math>\,x=0</math> ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).
 פונקציה זו מוגדרת על כל [[הישר הממשי]], והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:
@@ שורה 29: / שורה 29: @@
 ===רציפות במספרים האי רציונלים===
+יהי <math>x_0\in\mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> (כלומר <math>\,x_0</math> אי רציונלי), נראה ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. ואמנם, יהי <math>\,N</math> מספר טבעי המקיים <math>N>\frac{1}{\varepsilon}</math>. נעיין בקטע <math>\,I=(x_0-1,x_0+1)</math>. לכל <math>\,q</math> טבעי יש בקטע <math>\,I</math> מספר סופי של מספרים מן הצורה <math>\frac{p}{q}</math>, כלומר, הקבוצה <math>A_q=\left\{\frac{p}{q}\left|\frac{p}{q}\in I\right.\right\}</math> היא סופית לכל <math>\,q</math>. מכאן גם שהקבוצה <math>A=\bigcup_{q=1}^{N-1} A_q</math> היא סופית (איחוד סופי של קבוצות סופיות). כלומר, אוסף המספרים הרציונלים בקטע <math>\,I</math> בהם המכנה קטן מ-<math>\,N</math> הוא סופי. יהיה <math>r\in A</math> הקרוב ביותר ל-<math>\,x_0</math> (קיים כזה כי <math>\,A</math> סופית). נסמן <math>\,\delta=\frac{|x_0-r|}{2}</math>. נשים לב כי מכיוון ש-<math>\,r</math> רציונלי ו-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי, הרי ש-<math>\,\delta>0</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
+# <math>\,x\notin\mathbb{Q}</math> ואז <math>\,f(x)=0</math>, ומכאן <math>|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>.
-יהי x מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- x. יהי <math>\varepsilon>0</math>, אז קיים N שלם כך ש- <math>0 < 1/N < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math>, פונקצית ה[[עצרת]]. מכיוון ש- x אינו רציונלי,  קיים <math>\ 0<\delta</math> כך שהמרחק מ- x לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם k שלם, גדול מ- <math>\ \delta</math>. כעת נניח ש- <math>\ r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- x קטן מ- <math>\ \delta</math>, אז q לא יכול לחלק את M, ולכן <math>\ q>N</math> ו- <math>\ f(r)=1/q<1/N<\varepsilon</math>. הראינו שאם <math>\,|r-x|<\delta</math> אזי <math>|f(r)|<\varepsilon</math>, כדרוש.
+# <math>\,x=\frac{p_0}{q_0}\in\mathbb{Q}</math>. מכיוון שמרחקו של <math>\,x</math> מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\,\delta</math> הרי ברור ש-<math>\,x\notin A</math> ולכן <math>\,q_0>N</math>. מכאן ש-<math>|f(x)-f(x_0)|=|\frac{1}{q_0}-0|<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>.
+כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם <math>\,|x-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, ומכאן ש-<math>\,f</math> רציפה ב-<math>\,x_0</math>. תושלב"ע.
 ==ראו גם==