אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ הסרת לפשט - הסבר בדף השיחה
MerlIwBot (שיחה | תרומות)
מ בוט מוסיף: ca:Operador hermític משנה: es:Operador hermítico
שורה 84: שורה 84:


[[en:Self-adjoint operator]]
[[en:Self-adjoint operator]]
[[ca:Operador hermític]]
[[de:Hermitescher Operator]]
[[de:Hermitescher Operator]]
[[es:Operador hermitiano]]
[[es:Operador hermítico]]
[[fr:Opérateur hermitien]]
[[fr:Opérateur hermitien]]
[[it:Operatore autoaggiunto]]
[[it:Operatore autoaggiunto]]

גרסה מ־20:45, 24 במאי 2011

במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא סוג של אופרטור, ליתר דיוק אופרטור לינארי ממרחב הילברט לעצמו, המקיים תכונות מיוחדות שהופכות אותו לשימושי במיוחד. לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים.

הגדרה

יהי מרחב הילברט מעל המספרים המרוכבים ותהי < , > מכפלה פנימית.

הצמוד ההרמיטי

יהי A אופרטור לינארי חסום. נגדיר את הצמוד ההרמיטי של A ונסמנו באופן הבא:

ממשפט ההצגה של ריס מובטחים לנו קיומו ויחידותו של הצמוד ההרמיטי, וכן שהוא אופרטור לינארי וחסום גם כן.

סימון מקובל אחר לצמוד ההרמיטי הוא (מבוטא "A דאגר"). סימון זה שכיח בעיקר בקרב פיזיקאים.

תכונות הצמוד ההרמיטי:

אם נגדיר נורמה אופרטורית על ידי

אזי

.

יתרה מכך,

אוסף האופרטורים הלינאריים החסומים מעל עם הפעולות של חיבור נקודתי, כפל בסקלר נקודתי, הרכבה של אופרטורים והצמדה הרמיטית ועם הנורמה לעיל מגדירים מבנה שנקרא אלגברת סי כוכב או אלגברה *C.

אופרטור הרמיטי

אנו נאמר שאופרטור A הוא הרמיטי (מונח מקובל נוסף הוא צמוד לעצמו) אם

שזה שקול ל

כלומר, אפשר ל"הקפיץ" את האופרטור בין שני אגפי המכפלה הפנימית.

אופרטורים הרמיטיים הם מאוד שימושיים בגלל משפט הפירוק הספקטרלי. מעל מרחב הילברט ספרבילי מובטח לנו שאם A אופרטור הרמיטי, אזי:

  1. הוא מספר ממשי לכל וקטור x. במילים האחרות, העקבה של A ממשית.
  2. כל הערכים העצמיים של A הינם ממשיים.
  3. סט הווקטורים העצמיים שלו מהווים בסיס אורתונורמלי.
  4. האופרטור A ניתן לליכסון יוניטרי כך שכל הע"ע הם ממשיים.

משפט הפירוק הספקטרלי הוא הבסיס לאנליזת פורייה ופיתוח לטור פורייה.

הגדרה יותר ריגורוזית

כאשר האופרטור A איננו מוגדר על כל מרחב הילברט H עושים הבחנה בין אופרטור הרמיטי לאופרטור צמוד לעצמו.

אופרטור A המוגדר מעל תחום הצפוף ב נקרא הרמיטי (או סימטרי), אם:

ו .

חשוב להדגיש שכאן האופרטור הצמוד מוגדר על תחום רחב יותר מאשר A ולכן קיימים איברים שעבורם הצמוד מוגדר אך A לא! לכן, A איננו שווה ל A-צמוד, אלא רק מזדהה איתו על תת-תחום מסוים.

לעומת זאת, אופרטור A המוגדר מעל תחום הצפוף ב נקרא צמוד לעצמו, אם . כלומר: A אופרטור הרמיטי שמקיים . כאן, יש להדגיש, מתקיים שוויון ממש בין האופרטורים.

מטריצה הרמיטית

מקרה פרטי חשוב ונפוץ של אופרטור הרמיטי הוא מטריצה הרמיטית. כזכור, כל אופרטור לינארי שפועל על מרחב ממימד סופי אפשר לתאר באמצעות מטריצה (שהיא המטריצה המייצגת בבסיס שנקבע מראש).

עבור מטריצה מעל שדה המרוכבים נהוג לא להשתמש בשחלוף גרידא אלא בשחלוף והצמדה (מרוכבת).

את הצמוד ההרמיטי של מטריצה A מגדירים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle A^* :=\overline{A}^t=\overline{A^t}}

כאשר t מסמן שחלוף ו הוא לקיחת צמוד מרוכב. הערה: קל לבדוק שהגדרה זו היא אכן מקרה פרטי של ההגדרה הכללית כאשר מפרשים מכפלה סקלרית ככפל מטריצות רגיל של וקטור שורה בוקטור עמודה.

מטריצה ששווה לעצמה לאחר שחלוף והצמדה של האיברים, כלומר , נקראת מטריצה הרמיטית. מטריצה הרמיטית היא סימטרית אם כל האיברים בה הם ממשיים.

מטריצה הרמיטית היא מטריצה טובה, ומאחר שתמיד אפשר ללכסן אותה כך שהמטריצה המלכסנת היא יוניטרית (זה מקרה פרטי של משפט הפירוק הספקטרלי והליכסון היוניטרי). במטריצה אלכסונית הרבה יותר קל לבצע חישובים (כגון כפל מטריצות).

יישומים

פיזיקה

לאופרטור ההרמיטי חשיבות מיוחדת במכניקת הקוונטים. על פי תורה זו כל הגדלים הפיזיקליים המדידים (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצגים על ידי אופרטורים הרמיטיים. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור. הסיבה לכך היא שגודל מדיד חייב להיות מספר ממשי (לא ייתכנו גדלים מדידים מדומים) ולאופרטורים הרמיטיים ערכים עצמיים (=ערכי מדידה) ממשיים בלבד.

יישומים אחרים