שדה המספרים המרוכבים

במתמטיקה ויישומיה, שדה המספרים המרוכבים הוא השדה שאבריו הם המספרים המרוכבים, כלומר, מספרים מן הצורה $\ a+bi$, כאשר a,b הם ממשיים, ו-$\ i$ היא היחידה המרוכבת, המקיימת $\ i^{2}=-1$. המספרים המרוכבים מתאימים באופן טבעי לנקודות במישור המרוכב.

שדה המספרים המרוכבים, שאותו מקובל לסמן באות $\ \mathbb {C}$, מכיל את שדה המספרים הממשיים $\ \mathbb {R}$ - ומהווה הרחבה מממד 2 מעליו. שדה המרוכבים מתקבל מסיפוח השורש של מינוס אחת לשדה הממשיים, כלומר, $\ \mathbb {C}$ איזומורפי לחוג המנה $\ \mathbb {R} [x]/\left(x^{2}+1\right)$.

שדה המספרים המרוכבים סגור אלגברית (ולמעשה, הוא השדה הסגור-אלגברית היחיד מעוצמת הרצף שהמאפיין שלו 0), כלומר, לכל פולינום (שאינו קבוע) עם מקדמים מרוכבים, יש שורש מרוכב. כתוצאה מכך, לכל פולינום ממעלה $\ n$ יש בדיוק $\ n$ שורשים (אם לוקחים בחשבון שורשים חוזרים). עובדה זו נקראת לפעמים המשפט היסודי של האלגברה. בנוסף לזה, שדה המספרים המרוכבים שלם כמרחב מטרי. מאידך, קיומם של שורשים ריבועיים למספרים שליליים אינו מאפשר לסדר אותו.

היסטוריה

יצירתם של המספרים המרוכבים מיוחסת לג'ירולמו קרדאנו בתחילת המאה ה-16, שנעזר בהם כדי לפתור את המשוואה ממעלה שלישית. המספרים הוגדרו במפורש, בשנת 1572 על ידי רפאל בומבלי. באותה עת נחשבו מספרים כאלה לבלתי קיימים. מתמטיקאים התקשו לקבל את המושג החדש, והדבר בא לידי ביטוי גם בשם שניתן למספרים אלה. דקארט, הראשון שהשתמש במושג "מספר מדומה" בשנת 1637, התייחס בכך למה שקרוי כיום "מספר מרוכב". המספרים המרוכבים נכנסו למתמטיקה באופן מלא בעקבות עבודותיהם של אוילר וגאוס.

בניה מפורטת של השדה המרוכב

מגדירים פעולות של חיבור וכפל על האוסף $\ \mathbb {R} ^{2}$ של זוגות סדורים של מספרים ממשיים, באופן הבא:

$\ (x,y)+(a,b)=(x+a,y+b)$

$\ (x,y)\times (a,b)=(xa-yb,xb+ya)$.

כדי לראות שפעולות אלה הופכות את $\ \mathbb {R} ^{2}$ לשדה, בודקים את התכונות הבאות:

• פעולות הכפל והחיבור הן קומוטטיביות, אסוציאטיביות ודיסטריבוטיביות.
• קיים איבר נייטרלי ביחס לחיבור, $\ (0,0)$.
• קיים איבר נייטרלי ביחס לכפל, $\ (1,0)$.
• לכל איבר $\ (x,y)$ קיים איבר נגדי ביחס לחיבור $\ (-x,-y)$.
• לכל איבר $\ (a,b)$ השונה מ $\ (0,0)$ קיים איבר הופכי ביחס לכפל $\ {\Big (}{\frac {a}{a^{2}+b^{2}}},{\frac {-b}{a^{2}+b^{2}}}{\Big )}$.

הזוגות מהצורה $\ (x,0)$ מקיימים $\ (x,0)+(y,0)=(x+y,0)$ ו- $\ (x,0)\times (y,0)=(xy,0)$, ולכן ההתאמה $\ x\mapsto (x,0)$ מהווה שיכון של שדה הממשיים בשדה החדש. לפי הגדרת הכפל, $\ (0,1)\times (0,1)=(0\cdot 0-1\cdot 1,0\cdot 1+1\cdot 0)=(-1,0)$, כלומר: בשדה החדש קיים שורש ל- $\ -1$ (אותו אנו מסמנים ב- $\ i$), ואז כל איבר בשדה הוא מהצורה $\ x+iy$ כאשר $\ x,y\in \mathbb {R}$.

סימונים בשדה המרוכבים

• $\ i$ - הסימון המקובל לשורש הריבועי של $\ -1$ ומסומן על ידי $\ i^{2}=-1$ (לעתים משתמשים ב-$\ j$ כתחליף ל- $\ i$).
• $\ z$ - הסימון המקובל למספר מרוכב ומוגדר כ-$\ z=a+ib$.
• $\ Re(a+ib)=a$ - פונקציה המחזירה את החלק הממשי ($\ a$) של $\ z$.
• $\ Im(a+ib)=b$ - פונקציה המחזירה את החלק המדומה ($\ b$) של $\ z$.

פונקציות סטנדרטיות מעל שדה המרוכבים

כפל מספרים מרוכבים

במקום לזכור את ההגדרה הפורמלית של כפל המרוכבים, קל לבצע את ההכפלה בהצגה $\ z=a+ib$, להשתמש בתכונת הדיסטריבוטיביות ולזכור ש $\ i^{2}=-1$, באופן מפורש: $\ (a_{1}+ib_{1})\cdot (a_{2}+ib_{2})=a_{1}a_{2}+ia_{1}b_{2}+ib_{1}a_{2}+i^{2}b_{1}b_{2}=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}+i(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})$

הערך המוחלט

בנוסף, הערך מוחלט של מספר מרוכב מוגדר על ידי $\ \left|a+bi\right|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}$ כאשר המוטיבציה להגדרה היא הנורמה האוקלידית.

$\ \mathbb {C}$ הוא מרחב וקטורי מממד 2 מעל $\ \ \mathbb {R}$, והערך המוחלט מהווה נורמה מעל $\ \mathbb {R}$ (שכן הוא מקיים תכונות כגון אי שוויון המשולש). כך הופך השדה המרוכב להיות מרחב נורמי שלם.

הצמוד המרוכב

הצגת הצמוד המרוכב $\ {\overline {z}}$ של $\ z$ במישור המרוכב.

מלבד החלק הממשי והחלק המדומה (ראה מספר מרוכב), מגדירים גם את הצמוד המרוכב:

$\ {\overline {a+ib}}=(a+ib)^{*}=a-ib$.

הערה: הסימון על ידי קו עליון מקובל יותר בקרב מתמטיקאים ואילו הסימון בכוכבית מקובל יותר בקרב הפיזיקאים.

הצמוד המרוכב מקיים (עבור המספרים המרוכבים $\ z$ ו- $\ w$):

• $\ {\overline {zw}}={\bar {z}}{\bar {w}}$,
• $\ {\overline {z+w}}={\bar {z}}+{\bar {w}}$,
• $\ {\bar {\bar {z}}}=z$

ולכן הצמדה $\ z\mapsto {\bar {z}}$ מהווה אוטומורפיזם מסדר 2. כמו כן, פעולת ההצמדה יוצרת מבנה אלגברי שנקרא אלגברה כוכב (*-אלגברה).

כמו כן:

• באמצעות הצמוד המרוכב אפשר לחשב את הערך המוחלט של מספר מרוכב על ידי $\ \left|z\right|={\sqrt {z{\bar {z}}}}$.
• בפרט, $\ 0\leq z{\bar {z}}=|z|^{2}\in \mathbb {R}$ הוא תמיד מספר ממשי אי-שלילי. תכונה זו שימושית במיוחד בשביל להגדיר ולחשב חילוק של מספרים מרוכבים. חילוק כזה מתבצע באופן הבא:

$\ \forall z\neq 0:\quad {\frac {w}{z}}={\frac {w\cdot {\bar {z}}}{z\cdot {\bar {z}}}}={\frac {w{\bar {z}}}{|z|^{2}}}$

ובכך הגדרנו חילוק מרוכבים באמצעות כפל מרוכב וחילוק במספר ממשי. כך מתקבלת הנוסחה המפורשת $\ {\frac {x_{1}+y_{1}i}{x_{2}+y_{2}i}}={\frac {(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2})+(x_{2}y_{1}-x_{1}y_{2})i}{x_{2}^{2}+y_{2}^{2}}}$.

תכונות נוספות

• $\ {\overline {z-w}}={\bar {z}}-{\bar {w}}$
• $\ \left|{\bar {z}}\right|=\left|z\right|$
• $\ {\overline {{\Big (}{\frac {1}{z}}{\Big )}}}={\frac {1}{\overline {z}}}$
• $\ \left|z\cdot w\right|=\left|z\right|\left|w\right|$
• $\ \left|z+w\right|\leq \left|z\right|+\left|w\right|$ - אי-שוויון המשולש
• $\ \left|z-w\right|\geq \left|z\right|-\left|w\right|$ - נובע מאי-שוויון המשולש

הצגה קוטבית והמישור המרוכב

אפשר להתאים את המספר המרוכב $\ x+yi$ לקואורדינטה הקרטזית $\ (x,y)$ במישור $\ \mathbb {R} ^{2}$. את המישור אפשר לתאר גם באמצעות קואורדינטות פולריות, הכוללות, עבור כל נקודה, את המרחק שלה מראשית הצירים ואת הזווית בין הקטע המחבר את ראשית הצירים לנקודה, לבין ציר ה-$\ x$. הערך המוחלט של מספר מרוכב מייצג את מרחקו מראשית הצירים (ע"פ משפט פיתגורס), ואילו הזווית ניתנת לחישוב באמצעות פונקציית הטנגנס: $\ \tan \theta ={\frac {y}{x}}$ לכל מספר מרוכב $\ x+yi$ שאינו מדומה (למספר מדומה (כאשר x=0), הזווית היא ${\frac {\pi }{2}}$ רדיאנים).

לזווית נקרא ארגומנט של המספר המרוכב. נשים לב שאין למספר מרוכב ארגומנט יחיד - מרגע שנמצא ארגומנט, כל זווית אחרת כך שהפרשן של שתי הזוויות הוא $\ 2\pi$ גם היא ארגומנט. לכן נהוג לרוב כאשר מדברים על הארגומנט של מספר מרוכב לבחור את הזווית ששייכת לקטע $\ (-\pi ,\pi ]$.

על כן, כאשר נרצה להציג מספר מרוכב z בצורה קוטבית, נסמן ב-r את מרחקו מהראשית, וב$\ \theta$ את הזווית שהוא יוצר עם ציר ה-x, ואז $\ z=r\cos \theta +ri\sin \theta$.

בדרך כלל משתמשים בקיצור $\ \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta$. קיצור מקובל נוסף הוא $\ e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$, שנובע מתכונות פונקציית האקספוננט עבור ערכים מרוכבים.

• משפט דה מואבר: לכל $n\in \mathbb {N}$ מתקיים $(r\operatorname {cis} \theta )^{n}=r^{n}\operatorname {cis} (n\theta )$.

• נוסחת אוילר: לכל $\theta \in \mathbb {R}$ מתקיים: $\!\,e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }$. מנוסחה זו נובעת גם שתי הזהויות הבאות:
  • $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}$
  • $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$

ראו גם

• מספר מרוכב - להסבר פשוט ואינטואיטיבי יותר על שדה המרוכבים
• פונקציה מרוכבת
• אנליזה מרוכבת
• מערכות מספרים