מרחב מטרי שלם

בטופולוגיה, נאמר על מרחב מטרי שהוא שלם, אם ורק אם כל סדרת קושי של נקודות מתוכו היא בעלת גבול בו. בצורה אינטואיטיבית, ניתן לומר כי מרחב שלם הוא מרחב שאין בו "חורים": אם יש סדרה של נקודות שהולכות ומתקרבות אחת לשנייה, הן יתקרבו לנקודה אחת מסוימת במרחב. למשל, המספרים הרציונליים לא מהווים מרחב מטרי שלם, שכן ניתן למשל לבנות סדרת קושי שתתכנס ל-${\sqrt {2}}$, אבל מספר זה אינו רציונלי, ועל כן אינו שייך למרחב.

תנאי הכרחי ומספיק לכך שמרחב מטרי יהיה שלם מנוסח במשפט החיתוך של קנטור.

השלמה

כל מרחב מטרי ניתן להשלמה. בצורה אינטואיטיבית ניתן לתאר השלמה בתור "מילוי החורים" במרחב, על ידי כך שמוסיפים למרחב את כל הגבולות של כל סדרות הקושי הלא מתכנסות. אחת מהדרכים להגדיר את המספרים הממשיים היא בדרך זו: מגדירים את המספרים הממשיים בתור ההשלמה של המספרים הרציונליים - כלומר, כל מספר ממשי הוא גבול של סדרת קושי כלשהי של מספרים רציונליים.

מבחינה פורמלית, מרחב Y הוא השלמה של מרחב X אם ורק אם X איזומטרי לקבוצה צפופה במרחב Y. ניתן להוכיח שכל שתי השלמות של X איזומטריות, כלומר הן זהות בכל הנוגע לתכונות המטריות שלהן.

מרחבים מטריים עם מבנה אלגברי

כאשר מדובר בשדה סדור, השלמות מתייחסת לקיום חסם עליון לכל קבוצה חסומה. זוהי תכונה שונה מהתכנסות של סדרות קושי - ראו שדה סדור שלם לפרטים.

מרחב נורמי שלם נקרא מרחב בנך ואילו מרחב מכפלה פנימית שלם נקרא מרחב הילברט.