פונקציית צפיפות

בתורת ההסתברות, פונקציית צפיפות של משתנה מקרי היא פונקציה המתארת את צפיפות המשתנה בכל נקודה במרחב המדגם. ההסתברות שמשתנה מקרי יימצא בקטע מסוים היא האינטגרל של הצפיפות בקטע, ולכן המשתנה נוטה יותר לקבל ערכים שבהם הצפיפות גבוהה.

פונקציית צפיפות

פונקציה אינטגרבילית ממשית f נקראת פונקציית צפיפות אם היא חיובית, והאינטגרל שלה $\ \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)\mathrm {d} x$ שווה ל-1. כל פונקציה כזו מגדירה התפלגות של משתנה מקרי, על ידי הנוסחה $\ P(a<X<b)=P(a\leq X\leq b)=\int \limits _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x$. מן ההגדרה נובע שהסיכוי לכך שהמשתנה יקבל ערך a מסוים הוא תמיד אפס.

מאידך, משתנה מקרי X שפונקציית ההצטברות שלו $\ F(x)=P(X<x)=P(X\leq x)$ גזירה, מגדירה פונקציית צפיפות - הנגזרת של F. אינטואיטיבית, אפשר לחשוב על המכפלה $\ f(x)\mathrm {d} x$ בתור ההסתברות לכך ש-$\ X$ ייפול בקטע אינפיניטסימלי $\ [x,x+\mathrm {d} x]$.

לא לכל התפלגות יש פונקציית צפיפות: ההסתברות המצטברת של משתנה מקרי בדיד אינה גזירה; למשתנה בדיד יש, כביכול, צפיפות אינסופית בנקודות שבהן ההסתברות שלו חיובית.

פונקציות המוגדרות כמעט בכל מקום

להתפלגות ישנה פונקציית צפיפות אם ורק אם פונקציית ההצטברות שלה $\ F(x)$ פונקציה רציפה בהחלט. במקרה זה $\ F(x)$ גזירה כמעט בכל מקום, והנגזרת ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}F(x)=f(x)$ יכולה לשמש כפונקציית צפיפות.

שתי פונקציות צפיפות $\ f(x)$ ו- $\ g(x)$ מייצגות את אותה ההתפלגות בדיוק אם הן שונות רק בקבוצת לבג ממידה אפס.

שימושים בפונקציית הצפיפות

אם נתון משתנה מקרי $\ X$ בעל פונקציית צפיפות $\ f(x)$, אז ניתן לחשב את התוחלת שלו (אם קיימת) כ-$\operatorname {E} (X)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,\mathrm {d} x$.

דוגמאות

• פונקציית הצפיפות של ההתפלגות האחידה בקטע $\ [0,2]$ היא $\ f(x)={\frac {1}{2}}$ בקטע, ואפס מחוץ לקטע.

• פונקציית הצפיפות של התפלגות נורמלית תקנית היא $f(x)={e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}$.

ראו גם

• הסתברות
• משתנה מקרי
• התפלגות
• פונקציית ההסתברות המצטברת