חתך חרוט

ארבע הצורות הגאומטריות המתקבלות ממישור החותך חרוט כפול אינסופי.
הימני: היפרבולה, האמצעי: למעלה - אליפסה, למטה - מעגל, השמאלי: פרבולה

חתך חרוט (נקרא גם חתך קוני) הוא הצורה הגאומטרית המתקבלת כאשר מישור חותך חרוט (קונוס). צורת חתך החרוט תלויה בזווית שבה המישור חותך את החרוט.

אם α היא הזווית שבין ציר החרוט לקו היוצר שלו ו-β היא הזווית שבין ציר החרוט למישור החותך, אזי:

כאשר β = 90°, מתקבל מעגל (אדום). כאשר β > α, מתקבלת אליפסה (סגול). כאשר β = α, מתקבלת פרבולה (ירוק). כאשר β < α, מתקבלת היפרבולה (כחול). מקרים מנוונים מתקבלים כאשר המישור החותך עובר דרך קודקוד החרוט: כאשר β = 90° או β > α, מתקבלת נקודה יחידה. כאשר β = α, מתקבל ישר יחיד (הוא הישר היוצר של החרוט). כאשר β < α, מתקבלים שני ישרים החותכים זה את זה.

כל אחד מחתכי החרוט ניתן לתיאור באמצעות משוואה אלגברית ממעלה שנייה. ולהיפך: המקום הגאומטרי של הפתרונות למשוואה אלגברית ממעלה שנייה בשני נעלמים הוא חתך חרוט, או (במקרים מנוונים) זוג ישרים, ישר, נקודה, או הקבוצה הריקה.

חתכי החרוט ניתנים להגדרה גם כמקומות הגאומטריים הבאים:

• אוסף הנקודות הנמצאות במרחק קבוע מנקודה נתונה הוא מעגל.
• אוסף הנקודות שסכום מרחקיהן משתי נקודות נתונות הוא קבוע, הוא אליפסה.
• אוסף הנקודות שמרחקן מנקודה נתונה שווה למרחקן מישר נתון הוא פרבולה.
• אוסף הנקודות שהפרש המרחקים שלהן משתי נקודות נתונות קבוע הוא היפרבולה.

חתכי חרוט בפיזיקה

חתכי חרוט מופיעים במכניקה כפתרונות האפשריים של בעיית קפלר.

ניוטון מצא כי מסלולם של כוכבי הלכת חייב להיות אחד מחתכי החרוט - מעגל, אליפסה, פרבולה או היפרבולה. הוא מצא כי אם כוכב לכת יגדיל בצורה מלאכותית את מהירותו עד כדי הגעה למהירות גבולית מסוימת, מסלולו יהפוך מאליפטי לפרבולי. אם מהירותו תהיה גבוהה עוד יותר מהמהירות הגבולית, מסלולו יהיה היפרבולי. הן המסלול הפרבולי והן המסלול ההיפרבולי הם מסלולים פתוחים, כלומר גופים שינועו בהם יתרחקו מהשמש לבלי שוב.

ראו גם

• גופי סיבוב של חתכי חרוט

קישורים חיצוניים

• עמוס אלטשולר, חתכי החרוט בגישה סינתטית , (הוכחות קלאסיות לעקומים המתקבלים על ידי חתכי החרוט), על"ה - עלון למורי המתמטיקה, גיליון 9, ספטמבר 1991.
• מיכאל קורן, חתכי חרוט, הוכחה באמצעות תכונות הווקטורים