2,147,483,647

לאונרד אוילר

המספר הטבעי 2,147,483,647 הוא מספר מרסן הראשוני השמיני, ושווה ל-2³¹ − 1.

המתמטיקאי לאונרד אוילר הוכיח כי מספר זה ראשוני במכתב לדניאל ברנולי בשנת 1772. אוילר ניצל את התכונות הנוחות של מספרי מרסן, והשתמש בשכלול של שיטת החלוקה הנסיונית, שאפשר לו להוכיח את הראשוניות של המספר באמצעות 372 פעולות חלוקה בלבד. המספר היה למספר הראשוני הגדול ביותר שהיה ידוע באותה העת (העובדה שיש אינסוף ראשוניים הייתה ידועה כבר אלפיים שנה). היה זה שיפור משמעותי להישג של פייטרו קטלדי שמצא את מספר מרסן הראשוני השביעי, 524,287, כ-200 שנים קודם לכן.

המתמטיקאי האנגלי פיטר ברלאו כתב בספרו משנת 1811, An Elementary Investigation of the Theory of Numbers, שסביר שזהו המספר הראשוני הגדול ביותר שיתגלה לעולם, בשל הקושי במציאת ראשוניים גדולים יותר, ומשום שאין לכך שימוש מעשי. בימינו נעשה שימוש דרך קבע במספרים ראשוניים בני מאות ספרות לצורכי הצפנה (למשל RSA).

המספר החזיק בשיא המספר הראשוני הגדול ביותר הידוע לאדם במשך למעלה ממאה שנה, עד לשנת 1876 בה הוכיח אדוארד לוקאס, בעזרת גרסה ראשונית של מבחן לוקאס-להמר, שמספר מרסן הענק 2¹²⁷ − 1 הוא ראשוני (זהו עודנו המספר הראשוני הגדול ביותר שנתגלה ללא מחשב).

מכיוון ש-2³¹ − 1 מספר מרסן ראשוני, 2³⁰(2³¹ − 1) הוא מספר משוכלל. המספר הוא אחד מארבעת מספרי מרסן הראשוניים הכפולים היחידים שידועים, כלומר המעריך שלו 31 הוא מספר מרסן ראשוני בעצמו.

במחשבים

בשל היותו מספר מרסן ה-31, 2,147,483,647 הוא המספר החיובי הגדול ביותר שניתן לייצג במערכות מחשוב, בעזרת טיפוס מספר שלם באורך 32-סיביות בשיטת המשלים ל-2. לכן זהו המספר השלם הגדול ביותר שניתן לייצוג בעזרת משתנה int בשפות תכנות רבות, כמו גם הכמות המקסימלית של ניקוד שניתן לצבור במשחקי מחשב רבים. הופעתו של המספר מעידה לרוב על גלישה נומרית או ערך חסר. למשל, שגיאה נפוצה היא לשמור מספרי טלפון עשרה-ספרתיים במשתנה int, כך שרוב מספרי הטלפון שיוזנו יהיו גדולים מידי ויוצגו כמספר המקסימלי 214-748-3647 (בארצות הברית מספר זה שייך לאזור חיוג של דאלאס).

תוכנות המשתמשות בשיטת POSIX לחישוב זמן עושות שימוש במשתנה 32-סיביות המציג את מספר השניות שחלפו מאז חצות ה-1 בינואר 1970. בחלוף 2,147,483,647 שניות מתאריך זה, דבר שיקרה בשנת 2038, יגיע המשתנה לערך המקסימלי שלו ויעבור ל--2,147,483,647 שניות המייצגות תאריך ב-1901. בעיה זו ידועה כבאג 2038.