הפרדת משתנים

הפרדת משתנים היא שיטה לפתרון משוואות דיפרנציאליות. בשיטה זו מבודדים באגף אחד את כל האיברים התלויים במשתנה וכך מקבלים משוואה קלה יותר לפתרון. לא כל משוואה דיפרנציאלית ניתן לפתור בעזרת הפרדת משתנים, אך משוואות פיזיקליות חשובות רבות (לדוגמה משוואת שרדינגר, משוואת הגלים, משוואת החום, משוואת הדיפוזיה ועוד), ניתנות לפתרון בדרך זו.

הפרדת משתנים במשוואה דיפרנציאלית רגילה

אם נתונה משוואה דיפרנציאלית רגילה בצורה

${\frac {df(x)}{dx}}=g(x)h(f(x))$

אפשר לבצע הפרדת משתנים. נסמן $y=f(x)$ ואז

${\frac {dy}{dx}}=g(x)h(y)$.

אם $h(y)\neq 0$ אפשר לחלק בו את שני האגפים ולקבל

${\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}=g(x)$.

כעת נבצע לשני האגפים אינטגרציה לפי x ונקבל

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int g(x)dx$

ובאמצעות חילוף משתנים, אגף שמאל נהפך ל-

$\int {\frac {1}{h(y)}}{\frac {dy}{dx}}dx=\int {\frac {1}{h(y)}}dy$.

באמצעות אינטגרציה על שני האגפים מקבלים:

$\int {\frac {1}{h(y)}}dy+C_{2}=\int g(x)dx+C_{1}$.

הערה: אפשר להסתפק בקבוע אינטגרציה אחד, שכן $C=C_{1}-C_{2}$.

דוגמאות לשימוש בהפרדת משתנים

במשוואה דיפרציאלית רגילה

נתבונן במשוואה הבאה

${\frac {dy}{dx}}=y(1-y)$.

ניתן להעביר אגפים ולכתוב אותה כך:

${\frac {dy}{y(1-y)}}=dx$.

כאן ביצענו הפרדת משתנים - אגף ימין תלוי במשתנה x ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה y. השוויון ישמר אם נבצע אינטגרציה של אגף ימין לפי x ושל אגף שמאל לפי y.

$\int {\frac {dy}{y(1-y)}}=\int dx$

חישוב האינטגרל נותן

$\ \ln |y|-\ln |1-y|=x+C$

כאשר C קבוע אינטגרציה. מכאן ניתן לחלץ את y ולקבל כי פתרון המשוואה הוא:

$y={\frac {1}{1+Be^{-x}}}.$.

במשוואה דיפרנציאלית חלקית

נתבונן במשוואת הגלים

$\ {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x,t)={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi (x,t)$

נחפש פתרון מן הצורה $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ נציב זאת למשוואה ונקבל:

$\phi ''(x)\chi (t)={\frac {1}{v^{2}}}\phi (x)\chi ''(t)$

נחלק ב $\ \psi (x,t)=\phi (x)\chi (t)$ ונקבל

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}={\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}$

במשוואה שקיבלנו, אגף ימין תלוי במשתנה t בלבד, ואילו אגף שמאל תלוי במשתנה x בלבד (כאן הגענו להפרדת משתנים). כיוון שהשוויון צריך להתקיים לכל x ו-t כל אגף חייב להיות שווה לקבוע שנסמנו ב-$\,\lambda$. קיבלנו במקום המשוואה הדיפרנציאלית החלקית ממנה התחלנו, שתי משוואות דיפרנציאליות רגילות:

${\frac {\phi ''(x)}{\phi (x)}}=\lambda$

${\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\chi ''(t)}{\chi (t)}}=\lambda$

שאותן קל יותר לפתור (בדוגמה זו מדובר במשוואות אוסצילטור הרמוני שפתרונן ידוע).