פנים (טופולוגיה)

הנקודה p נמצאת בפנים של הקבוצה V שכן הקבוצה V מכילה סביבה של p.

בטופולוגיה, הפְּנים של קבוצה הוא אינטואיטיבית אוסף הנקודות שנמצאות "בתוך" הקבוצה ולא על השפה שלה. נהוג לסמן את הפנים של קבוצה $\ A$ ב-$\ {\mbox{Int}}(A)$ או ב-$\ A^{\circ }$.

הגדרה פורמלית

ישנן כמה דרכים שקולות להגדיר את הפנים של קבוצה:

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה, $\ {\mbox{Int}}(A)$, בתור קבוצת כל הנקודות $\ x\in A$ כך שקיימת קבוצה פתוחה $\ B$ כך ש-$\ x\in B\subseteq A$ - כלומר, הקבוצה $\ A$ היא סביבה של $\ x$.

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה בתור הקבוצה הפתוחה הגדולה ביותר שמוכלת ב-$\ A$. על פי הגדרה זו, הפנים הוא איחוד כל הקבוצות הפתוחות המוכלות ב-$\ A$.

• תהא $\ A$ קבוצה כלשהי במרחב טופולוגי. נגדיר את הפנים שלה באמצעות הנוסחה הבאה המערבת משלים וסגור: $\ {\mbox{Int}}(A)=({\overline {A^{c}}})^{c}$.

דוגמה

נחשב את הפנים של הקטע הסגור $\ [0,1]$ בישר הממשי.

$\ [0,1]^{c}=(\infty ,0)\cup (1,\infty )$

$\ {\overline {[0,1]^{c}}}=(\infty ,0]\cup [(1,\infty )$

$\ ({\overline {[0,1]^{c}}})^{c}=(0,1)$

ולכן הפנים של $\ [0,1]$ הוא הקטע הפתוח $\ (0,1)$.

תכונות הפנים

נשים לב שרבות מתכונות אלו מזכירות את תכונות הסגור.

• כל קבוצה פתוחה שווה לפנים שלה: $\ A={\mbox{Int}}(A)$. בפרט הפנים הוא קבוצה פתוחה ולכן $\ {\mbox{Int}}(A)={\mbox{Int}}\left({\mbox{Int}}(A)\right)$.
• $\ A\subseteq B\Rightarrow {\mbox{Int}}(A)\subseteq {\mbox{Int}}(B)$
• $\ {\mbox{Int}}(A)\cup {\mbox{Int}}(B)\subseteq {\mbox{Int}}\left(A\cup B\right)$
• $\ {\mbox{Int}}\left(A\cap B\right)={\mbox{Int}}(A)\cap {\mbox{Int}}(B)$

חוץ

החוץ של קבוצה $A$, המסומן ${\mbox{Ext}}(A)$, מוגדר כפנים של המשלים שלה: $\ {\mbox{Ext}}(A)={\mbox{Int}}(A^{c})$. באופן שקול, ניתן להגדיר את החוץ כמשלים של הסגור: $\ {\mbox{Ext}}(A)=({\overline {A}})^{c}$.

השפה של קבוצה, היא קבוצת האיברים במרחב שלא נמצאים בפנים שלה ולא נמצאים בחוץ שלה.