אופרטור הרמיטי – הבדלי גרסאות
אין תקציר עריכה |
|||
שורה 38: | שורה 38: | ||
# בפרט, לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> טבעי, [[מטריצת היחידה]] <math>I_n</math> היא מטריצה הרמיטית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ו-<math>\mathbb{C}^n</math> . |
# בפרט, לכל <math>n \in \mathbb{N}</math> טבעי, [[מטריצת היחידה]] <math>I_n</math> היא מטריצה הרמיטית מעל <math>\mathbb{R}^n</math> ו-<math>\mathbb{C}^n</math> . |
||
# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן, |
# יהי <math>\mathbb{H} = \mathbb{R}^2</math>, אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן, |
||
#: <math> \langle \mathbf{ |
#: <math> \langle \mathbf{x} , A \mathbf{y} \rangle = \left[ x_1 \ y_1 \right] A \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \left( A^t \left[ \begin{matrix} x_1 \\ y_1 \end{matrix} \right] \right)^t \left[ \begin{matrix} x_2 \\ y_2 \end{matrix} \right] = \langle A^t \mathbf{r}_1 , \mathbf{r}_2 \rangle = \langle A \mathbf{x} , \mathbf{y} \rangle </math> |
||
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> הצמוד ההרמיטי של <math>A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]</math> הוא <math>A^* = \overline{A}^t = \overline{A^t} = \left[ \begin{matrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} \\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} \end{matrix} \right]</math>. |
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> הצמוד ההרמיטי של <math>A = \left[ \begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} \right]</math> הוא <math>A^* = \overline{A}^t = \overline{A^t} = \left[ \begin{matrix} \bar{a}_{11} & \bar{a}_{21} \\ \bar{a}_{12} & \bar{a}_{22} \end{matrix} \right]</math>. |
||
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי]] <math> \sigma_x = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_z = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \quad : </math> הן מטריצות הרמיטיות. |
# מעל <math>\mathbb{H} = \mathbb{C}^2 </math> [[מטריצות פאולי]] <math> \sigma_x = \left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_y = \left[ \begin{matrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{matrix} \right] \quad , \quad \sigma_z = \left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix} \right] \quad : </math> הן מטריצות הרמיטיות. |
גרסה מ־01:04, 12 באפריל 2012
בערך זה |
במתמטיקה, אופרטור הרמיטי הוא אופרטור לינארי ממרחב מכפלה פנימית לעצמו, הצמוד לעצמו. כל האופרטורים ההרמיטיים הם לכסינים אוניטרית, ואפשר לאפיין אותם בכך שהכל הערכים העצמיים שלהם - ממשיים. האופרטורים האלו קרויים כך על-שם המתמטיקאי שארל הרמיט.
לאופרטורים הרמיטיים תפקיד מרכזי במכניקת הקוונטים, שבה כל גודל פיזיקלי מדיד (דוגמת אנרגיה, תנע או תנע זוויתי) מיוצגים על ידי אופרטור הרמיטי. תוצאות המדידה האפשריות הן הערכים העצמיים של האופרטור.
אופרטורים במרחב מכפלה פנימית
יהי H מרחב מכפלה פנימית מעל המרוכבים. לכל אופרטור לינארי מוגדר האופרטור הצמוד , לפי החוק (את האופרטור הצמוד מסמנים לפעמים גם ). פעולה זו היא אינוולוציה (מסוג שני) של מרחב האופרטורים, כלומר, היא מקיימת את החוקים:
- ,
- ,
- ,
- .
לדוגמא, אם H הוא מרחב הילברט ו-A אופרטור חסום, אז לפי משפט ההצגה של ריס גם חסום. אם , אומרים ש-A צמוד לעצמו.
משפט הפירוק הספקטרלי מבטיח שכל אופרטור קומפקטי צמוד לעצמו הוא לכסין אוניטרית. יתרה מזו, לכל וקטור עצמי v של A עם ערך עצמי , מתקיים , ולכן ממשי. מכאן שיש למרחב בסיס אורתוגונלי שהאופרטור מותח כל איבר שלו בגורם ממשי.
אופרטורים על מרחב סופי
על מרחב הוקטורים המרוכבים מוגדרת המכפלה הפנימית הסטנדרטית . לכל מטריצה מתאים אופרטור הכפל (ביתר דיוק: A היא המטריצה המייצגת של אופרטור הכפל ביחס לבסיס הסטנדרטי). האופרטור הצמוד מתאים למטריצה . כלומר, המטריצה הצמודה מתקבלת משחלוף והפעלת הצמוד המרוכב.
עבור מטריצות ממשיות, אם כך, מטריצה היא הרמיטית אם ורק אם היא סימטרית. מטריצות סימטריות ממשיות הן לכסינות אורתוגונלית אפילו מעל הממשיים.
דוגמאות
- אופרטור הזהות הוא אופרטור הרמיטי.
- בפרט, לכל טבעי, מטריצת היחידה היא מטריצה הרמיטית מעל ו- .
- יהי , אזי כל מטריצה סימטרית A היא אופרטור הרמיטי. שכן,
- מעל הצמוד ההרמיטי של הוא .
- מעל מטריצות פאולי הן מטריצות הרמיטיות.
- יהי מרחב הפונקציות הממשיות הגזירות פעמיים ברציפות ואינטגרביליות לבג בריבוע שמתאפסות בקצות הקטע , עם מכפלה פנימית , אזי האופרטור (גזירה פעמיים) הוא אופרטור צמוד לעצמו שכן
- (השתמשנו פעמיים באינטגרציה בחלקים)
ראו גם
- תורת שטורם-ליוביל על פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות אופרטורים הרמיטיים.
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |