משוואה דיפרנציאלית – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:41, 12 באפריל 2012

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. למשוואות דיפרנציאליות שימוש רב בתחומי המדע השונים.

משוואה דיפרנציאלית רגילה היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.

למשל $f'(x)=f(x)$ היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה $f(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}$ (אקספוננט) כאשר $C_{1}$ ו $C_{2}$ מספרים קבועים.

סיווג משוואות דיפרנציאליות

משוואות דיפרנציאליות מסווגות על פי שני קריטריונים עיקריים: סדר ומעלה.

מעלת המשוואה היא החזקה (המעריך) הגבוהה ביותר של הפונקציה הנעלמת, המופיעה בה. הסדר הוא סדר הנגזרת הגבוהה ביותר של הפונקציה.

שימוש במשוואות דיפרנציאליות

למשוואות דיפרנציאליות יש שימושים בכל תחומי המדע: פיזיקה, הנדסה, ביולוגיה, כלכלה ומטאורולוגיה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן צצות ועולות בכל תחום מדעי שבו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.

דוגמאות למשוואות דיפרנציאליות בתחומים שונים

משוואה המתארת את קצב התרבות חיידקים ברגע מסוים כתלות במספרם באותו רגע. הסבר לתלות, ככל שמספר החיידקים גדל כך קצב הריבוי קטן, ולהפך.
משוואה המתארת תאוצה (קצב השתנות המהירות) של גוף נופל ברגע מסוים כתלות במהירות באותו רגע. ההסבר לכך הוא שהתנגדות האוויר גדלה באופן פרופורציונלי יחד עם מהירות הגוף, ולכן התאוצה קטנה.

פתרון משוואה דיפרנציאלית

ככלל, לא פשוט לפתור משוואה דיפרנציאלית. אין שיטה כללית לפתרון של משוואה כזו, ולעתים ניתן להגיע רק לקירוב של הפתרון ולא לפתרון עצמו.

עם זאת, לסוגים מסוימים של משוואות יש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וניתן לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

כדי להקל על כתיבת המשוואה מסומנות בדרך כלל הפונקציות (ונגזרותיהן) באות בודדת בלבד.

קישורים חיצוניים

הרצאות מוקלטות של פרופ' דניאל הרשקוביץ בטכניון על משוואות דיפרנציאליות רגילות, באתר YouTube
משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר MathWorld (באנגלית)
משוואה דיפרנציאלית חלקית, באתר MathWorld (באנגלית)
הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, בפרויקט UnderWarrior
הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות חלקיות, בפרויקט UnderWarrior
משוואות דיפרנציאליות רגילות - סיכום הקורס, אתר הטכניון

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.

@@ שורה 3: / שורה 3: @@
 [[משוואה דיפרנציאלית רגילה]] היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד ל[[משוואה דיפרנציאלית חלקית]], שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן [[נגזרת חלקית|נגזרות חלקיות]].
-למשל <math>f'(x) = f(x)</math> היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה <math>f(x) = Ce^x</math> ([[אקספוננט]]) כאשר <math>C</math> מספר קבוע.
+למשל <math>f'(x) = f(x)</math> היא משוואה דיפרנציאלית רגילה שפתרונה הוא כל פונקציה מהצורה <math>f(x) = C_1e^x + C_2</math> ([[אקספוננט]]) כאשר <math>C_1</math> ו<math>C_2</math> מספרים קבועים.
 ==סיווג משוואות דיפרנציאליות==