מרחב מכפלה פנימית – הבדלי גרסאות
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מ r2.5.2) (בוט מוסיף: nn:Indreproduktrom |
←דוגמאות למכפלות פנימיות: יותר ברור לדעתי |
||
שורה 41: | שורה 41: | ||
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math> . אם נחליף את <math>\ I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>\ A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית. |
* את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: <math> \lang \vec{x} , \vec{y} \rang = \vec{x}^T I \vec{y}</math> . אם נחליף את <math>\ I</math> ([[מטריצת היחידה]]) במטריצה <math>\ A</math> [[מטריצה חיובית|חיובית לחלוטין]] נקבל גם כן מכפלה פנימית. |
||
* במרחב כל ה[[אינטגרל|פונקציות האינטגרביליות]] בריבוע ב[[אינטגרל לבג|מובן לבג]] בתחום <math>\,I</math>, שמסומן <math>\ L^2(I)</math>, המכפלה הפנימית היא <math> \lang f , g \rang = \int_I{ f(x) \ \overline{g(x)} \ dx } </math>. מכפלה זו הופכת את המרחב ל[[מרחב הילברט]], לפי משפט ריז-פישר. |
* במרחב כל ה[[אינטגרל|פונקציות האינטגרביליות]] בריבוע ב[[אינטגרל לבג|מובן לבג]] בתחום <math>\,I</math>, שמסומן <math>\ L^2(I)</math>, המכפלה הפנימית היא <math> \lang f , g \rang = \int_I{ f(x) \ \overline{g(x)} \ dx } </math>. מכפלה זו הופכת את המרחב ל[[מרחב הילברט]], לפי משפט ריז-פישר. |
||
* ב[[ |
* ב[[פיזיקה קוונטית]], משתמשים ב[[סימון דיראק]] (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי: <math>\ \lang a \phi | b \psi \rang = a^* b \lang \phi | \psi \rang</math>. |
||
גרסה מ־16:44, 28 באפריל 2012
באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פונקציית כפל בין איברי המרחב, המכונה מכפלה פנימית. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.
הגדרה פורמלית
יהי מרחב וקטורי מעל השדה , כאשר הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:
- אדיטיביות ברכיב הראשון:
- הומוגניות ברכיב הראשון:
- הרמיטיות (מעל הממשיים - סימטריות):
- חיוביות לחלוטין:
ושוויון קיים אם ורק אם
נשים לב לכמה דברים:
- תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:
- פירושו כי הוא מספר ממשי.
- האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד - כאשר מוציאים סקלר מהמכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:
- מהאדיטיביות נובע כי תמיד מתקיים:
המרחב בתוספת מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.
במכפלה הפנימית משתמשים בין היתר כדי להגדיר את מושגי האורתוגונליות והנורמה.
דוגמאות למכפלות פנימיות
- יהי מרחב וקטורי.
- אם אזי המכפלה הסקלרית הבאה היא מכפלה פנימית.
- אם אזי המכפלה הסקלרית הבאה היא מכפלה פנימית.
- מכפלת וקטור שורה בוקטור עמודה לפי החוקים של כפל מטריצות מהווה מכפלה פנימית.
- את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: . אם נחליף את (מטריצת היחידה) במטריצה חיובית לחלוטין נקבל גם כן מכפלה פנימית.
- במרחב כל הפונקציות האינטגרביליות בריבוע במובן לבג בתחום , שמסומן , המכפלה הפנימית היא . מכפלה זו הופכת את המרחב למרחב הילברט, לפי משפט ריז-פישר.
- בפיזיקה קוונטית, משתמשים בסימון דיראק (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי: .
נושאים באלגברה ליניארית | ||
---|---|---|
מושגי יסוד | שדה • מרחב וקטורי • משוואה ליניארית • מערכת משוואות ליניאריות • העתקה ליניארית • מטריצה | |
וקטורים | סקלר • כפל בסקלר • צירוף ליניארי • תלות ליניארית • קבוצה פורשת • בסיס • וקטור קואורדינטות • ממד | |
מטריצות | כפל מטריצות • שחלוף • דטרמיננטה • דירוג מטריצות • דרגה • עקבה • מטריצה מצורפת • מטריצת מעבר • מטריצה משולשית • דמיון מטריצות • ערך עצמי • פולינום אופייני • לכסון מטריצות • צורת ז'ורדן | |
העתקות | העתקה ליניארית • קואורדינטות • מטריצה מייצגת • גרעין • אנדומורפיזם • איזומורפיזם • העתקה אפינית • העתקה פרויקטיבית | |
מרחבי מכפלה פנימית | מכפלה סקלרית • מכפלה וקטורית • אורתוגונליות • מטריצה סימטרית • אופרטור הרמיטי • אופרטור אוניטרי • טרנספורמציה נורמלית • נורמה • מטריקה | |
תבניות | תבנית ביליניארית • תבנית סימטרית • תבנית הרמיטית • תבנית סימפלקטית • חפיפת מטריצות • משפט סילבסטר • תבנית מולטי-ליניארית אנטי-סימטרית • אוריינטציה • צפיפות • טנזור |