משפט וילסון

משפט וילסון הוא משפט בתורת המספרים, הקובע שאם p מספר ראשוני, אז p מחלק את $\ (p-1)!+1$ (ראו עצרת למשמעות הסימון "!"). המשפט נקרא על-שם ג'ון וילסון, למרות שלגראנז' היה הראשון להוכיח את המשפט, בשנת 1773.

הכיוון ההפוך למשפט נכון גם הוא, משום שפרט למקרה p=4, אם p אינו ראשוני אז הוא מחלק את $\ (p-1)!$.

היסטוריה

הראשון שגילה את המשפט היה ככל הנראה המתמטיקאי ההודי Bhāskara I, מאוחר יותר המשפט הוסבר על ידי המדען הערבי איבן אל-היית'ם שחי בתקופת ימי הביניים, בערך בשנת 1000 לספירה. המשפט קרוי על שמו של וילסון, מתמטיקאי אנגלי וסטודנט של אדוארד וארינג, שהזכיר את המשפט במאה ה-18. וארינג הכריז על המשפט בשנת 1770 למרות שגם הוא וגם וילסון לא יכלו להוכיח אותו, ולגראנז', ב-1773, היה הראשון שסיפק לו הוכחה. ישנן ראיות שלייבניץ היה מודע לכך כתשעים שנה קודם לכן, אך מעולם לא פרסם זאת.

הוכחה

נניח ש- p ראשוני. לכל $\ 1\leq a<p$ קיים b יחיד באותו טווח, המקיים $\ ab\equiv 1{\pmod {p}}$ (זהו ההפכי של a בחבורת אוילר $\ U_{p}$). אם a הפוך לעצמו אז $\ p|(a-1)(a+1)$, ולכן המספרים היחידים ההפוכים לעצמם הם 1 ו- p-1. מכאן שבמכפלה $\ (p-1)!=1\cdot 2\cdot \dots (p-1)$, כל המספרים פרט ל- 1 ו- p-1 מסודרים בזוגות שמכפלתם 1, ולכן המכפלה כולה שקולה מודולו p ל-$\ -1$.

אותה הוכחה מתאימה לתוצאה כללית יותר: מכפלת כל האיברים בחבורה אבלית סופית שווה למכפלת האיברים מסדר 2 בחבורה.

יישומים

אם p ראשוני אי-זוגי, אז $\ (p-1)!=(1\cdot \cdots \cdot {\frac {p-1}{2}})\cdot ({\frac {p+1}{2}}\cdot \cdots \cdot (p-1))=\left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}(-1)^{\frac {p-1}{2}}$, ולפי משפט וילסון $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!^{2}=(-1)^{\frac {p+1}{2}}$. לכן, אם $\ p\equiv 1{\pmod {4}}$, הערך $\ \left({\frac {p-1}{2}}\right)!$ מהווה שורש ריבועי של 1-. (מאידך, אם $\ p\equiv -1{\pmod {4}}$ אז 1- אינו שארית ריבועית).

המשפט ההפוך

נוכיח גרסה חזקה של המשפט ההפוך של משפט וילסון. במקרה n=4, $(4-1)!+1=7$ אינו מתחלק ב-4. נראה כי אם $\ 4<n$ מספר פריק, אז n מחלק את $\ (n-1)!$. נבחר מחלק אמיתי של n, $\ 1<a<n$. אם a השורש הריבועי של n, אז $2<a$ (כי $\ 4<n$), ומכאן ש-$2a<a^{2}=n$. מכיוון שהן a והן 2a קטנים מ-n הם כלולים במכפלה $\ (n-1)!$, ובפרט מכפלה זו מתחלקת במכפלתם $\ 2a^{2}=2n$, ולכן n מחלק את $\ (n-1)!$. אם a אינו שורש של n, אז הוא שונה מ-$n/a<n$, ולכן מכפלתם, n, מחלקת את $\ (n-1)!$.

הכללה

קארל פרידריך גאוס הוכיח את ההכללה הבאה למשפט: לכל m>2,

$\prod _{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}$

כש-p הוא ראשוני אי-זוגי, ו-$\alpha$ הוא שלם חיובי. משפט וילסון מתקבל כאשר m ראשוני.

המכפלה האחרונה היא למעשה מכפלת האיברים בחבורת אוילר $U_{m}$. את הטענה ניתן להכליל לכל חבורה אבלית סופית: מכפלת האיברים בחבורה כזו היא תמיד איבר היחידה, אלא אם כן קיים איבר יחיד מסדר 2, ואז המכפלה שווה אליו. גאוס הוכיח שבמקרים $m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }$ חבורת אוילר היא חבורה ציקלית מסדר זוגי (הזוגיות נובעת מתכונות פונקציית אוילר) ולכן $-1$ הוא אכן האיבר היחיד בה שסדרו 2.

ראו גם

• הלמה של גאוס