פונקציית רימן – הבדלי גרסאות

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־00:14, 19 באפריל 2006

ערך זה עוסק בפונקציית הסרגל (הנקראת גם פונקציית רימן). אם התכוונתם לפונקציית זטא של רימן, ראו פונקציית זטא של רימן.

פונקציית רימן (על שמו של המתמטיקאי הגרמני ברנרד רימן) (או פונקציית הסרגל) היא פונקציה ממשית מוגדרת כדלהלן:

$f(x)=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{q}}&{\mbox{if }}x={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q} ,\quad p,q\ \ {\mbox{relatively prime integers}},q>0\\0&{\mbox{if }}x\notin \mathbb {Q} \end{matrix}}\right.$

(ב- $\,x=0$ ערך הפונקציה הוא 1, כמו בכל מספר שלם).

פונקציה זו מוגדרת על כל הישר הממשי, והיא מתאפיינת בתכונות מעניינות:

פונקציה זו רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר, ומכאן ברור שאין קטע שהיא רציפה בו.
אין קטע שהיא מונוטונית בו.
קבוצת נקודות אי-הרציפות של הפונקציה צפופה על הישר, אך בעלת מידה אפס.
בכל קטע סופי הפונקציה אינטגרבילית רימן (האינטגרל הוא כמובן אפס).

הערה על שם הפונקציה

בספרו של מייזלר "חשבון אינפיניטסימלי" הפונקציה מופיעה כ"פונקציית רימן". שמות נוספים בהם מוכרת הפונקציה:

פונקציית הסרגל
פונקציית הפופקורן
פונקציית תומה (Thomae's function)

הוכחה

נוכיח כי הפונקציה רציפה בכל נקודה אי-רציונלית, ואינה רציפה באף נקודה רציונלית על הישר.

יהי $x_{0}={\frac {p}{q}}\in \mathbb {Q}$ , כאשר $\,p,q$ שלמים זרים ו- $\,q>0$ . מכאן ש- $f(x_{0})={\frac {1}{q}}$ . נראה כי $\,f$ אינה רציפה ב- $\,x_{0}$ . קבוצת המספרים האי-רציונלים צפופה בישר הממשי, לכן יש סדרה $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ של מספרים אי רציונלים המקיימת $x_{n}\to x_{0}$ . לכל $\,n$ מתקיים $\,f(x_{n})=0$ , ומכאן $\lim _{n\to \infty }f(x_{n})=0\neq f(x_{0})={\frac {1}{q}}$ , ולכן לפי הגדרת הרציפות לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב- $\,x_{0}$ .

כעת נניח ש- $\,x_{0}$ מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- $\,x_{0}$ . נשתמש בהגדרת הרציפות לפי קושי. יהי $\varepsilon >0$ . יש למצוא $\,\delta >0$ כך שאם $x\in (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ . קיים $\,N$ שלם כך ש- $0<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$ . נסמן $\ M=N!$ (פונקציית העצרת). מכיוון ש- $\,x_{0}$ אינו רציונלי, קיים $\ \delta >0$ כך שהמרחק מ- $\,x_{0}$ לכל שבר מהצורה $\ {\frac {k}{M}}$ עם $\,k$ שלם, גדול מ- $\ \delta$ . יהי $\,x\in \mathbb {R}$ המקיים $\,|x-x_{0}|<\delta$ . ייתכנו שתי אפשרויות:

$\,x\notin \mathbb {Q}$ ואז $\,f(x)=0$ , ומכאן $|f(x)-f(x_{0})|=0<\varepsilon$ .
$\ x=r={\frac {p}{q}}$ הוא שבר מצומצם שמרחקו מ- $\,x_{0}$ קטן מ- $\ \delta$ , אז $\,q$ לא יכול לחלק את $\,M$ , ולכן $\ q>N$ ו- $\ f(r)={\frac {1}{q}}<{\frac {1}{N}}<\varepsilon$ , כלומר, אם $\,|r-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(r)-f(x_{0})|<\varepsilon$ , כדרוש.

כלומר הראינו כי בכל מקרה, אם $\,|x-x_{0}|<\delta$ אזי $|f(x)-f(x_{0})|<\varepsilon$ , ומכאן ש- $\,f$ רציפה ב- $\,x_{0}$ .

ראו גם

@@ שורה 28: / שורה 28: @@
 יהי <math>x_0=\frac{p}{q}\in\mathbb{Q}</math>, כאשר <math>\,p,q</math> שלמים זרים ו-<math>\,q>0</math>. מכאן ש-<math>f(x_0)=\frac{1}{q}</math>. נראה כי <math>\,f</math> אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>. קבוצת המספרים האי-רציונלים [[קבוצה צפופה|צפופה]] ב[[הישר הממשי|ישר הממשי]], לכן יש סדרה <math>\{x_n\}_{n=1}^\infty</math> של מספרים '''אי רציונלים''' המקיימת <math>x_n\to x_0</math>. לכל <math>\,n</math> מתקיים <math>\,f(x_n)=0</math>, ומכאן <math>\lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\ne f(x_0)=\frac{1}{q}</math>, ולכן לפי הגדרת ה[[רציפות]] לפי היינה, הפונקציה אינה רציפה ב-<math>\,x_0</math>.
-כעת נניח ש-<math>\,x_0</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקצית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי,  קיים <math>\ \delta>0</math> כך שהמרחק מ-<math>\,x_0</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ-<math>\ \delta</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
+כעת נניח ש-<math>\,x_0</math> מספר אי-רציונלי; נראה שהפונקציה רציפה ב- <math>\,x_0</math>. נשתמש בהגדרת ה[[רציפות]] לפי קושי. יהי <math>\varepsilon>0</math>. יש למצוא <math>\,\delta>0</math> כך שאם <math>x\in(x_0-\delta,x_0+\delta)</math> אזי <math>|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon</math>. קיים <math>\,N</math> שלם כך ש-<math>0 < \frac{1}{N} < \varepsilon</math>. נסמן <math>\ M=N!</math> (פונקציית ה[[עצרת]]). מכיוון ש-<math>\,x_0</math> אינו רציונלי,  קיים <math>\ \delta>0</math> כך שהמרחק מ-<math>\,x_0</math> לכל שבר מהצורה <math>\ \frac{k}{M}</math> עם <math>\,k</math> שלם, גדול מ-<math>\ \delta</math>. יהי <math>\,x\in\mathbb{R}</math> המקיים <math>\,|x-x_0|<\delta</math>. ייתכנו שתי אפשרויות:
 # <math>\,x\notin\mathbb{Q}</math> ואז <math>\,f(x)=0</math>, ומכאן <math>|f(x)-f(x_0)|=0<\varepsilon</math>.
 # <math>\ x=r=\frac{p}{q}</math> הוא שבר מצומצם שמרחקו מ-<math>\,x_0</math> קטן מ-<math>\ \delta</math>, אז <math>\,q</math> לא יכול לחלק את <math>\,M</math>, ולכן <math>\ q>N</math> ו-<math>\ f(r)=\frac{1}{q}<\frac{1}{N}<\varepsilon</math>, כלומר, אם <math>\,|r-x_0|<\delta</math> אזי <math>|f(r)-f(x_0)|<\varepsilon</math>, כדרוש.