מספר אלגברי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
רועי.ס (שיחה | תרומות)
EmausBot (שיחה | תרומות)
מ r2.7.3) (בוט מוסיף: ky:Алгебралык сан
שורה 47: שורה 47:
[[kk:Алгебралық сан]]
[[kk:Алгебралық сан]]
[[ko:대수적 수]]
[[ko:대수적 수]]
[[ky:Алгебралык сан]]
[[la:Numerus algebraicus]]
[[la:Numerus algebraicus]]
[[lv:Algebrisks skaitlis]]
[[lv:Algebrisks skaitlis]]

גרסה מ־08:19, 16 בספטמבר 2012

מספר אלגברי הוא מספר מרוכב המהווה שורש של פולינום בעל מקדמים רציונליים (או שלמים, אין הבדל). בפרט, כל מספר רציונלי q הוא אלגברי, משום שהוא פותר את המשוואה . מספר (מרוכב) שאינו אלגברי נקרא מספר טרנסצנדנטי.

אוסף כל המספרים האלגבריים מהווה שדה, הנקרא שדה המספרים האלגבריים. אוסף המספרים האלגבריים הוא בן מנייה, בעוד שהמשלים לו אינו בן מנייה. תכונה זו הוכחה על ידי גאורג קנטור. במובן זה ישנם הרבה יותר מספרים שאינם אלגבריים מאשר מספרים אלגבריים, למרות שבאופן מעשי קשה ביותר להוכיח שמספר נתון (כגון e או פאי) אינו אלגברי (להוכחות ראו טרנסצנדנטיות של e ומשפט לינדמן).

דוגמאות.

  • הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום .
  • הוא מספר אלגברי - הוא מאפס את הפולינום .
  • המספרים e, פאי ו- אינם אלגבריים.

ההגדרה המובאת כאן מסתפקת בכך שמספר אלגברי יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים רציונליים. הגדרה מקובלת אחרת דורשת שהמספר יהיה שורש לפולינום בעל מקדמים שלמים. שתי ההגדרות שקולות זו לזו, משום שפולינום במקדמים רציונליים אפשר להפוך לפולינום במקדמים שלמים על ידי כפל בגורם משותף. את ההגדרה הראשונה אפשר להכליל למושג איבר אלגברי בהרחבה כללית של שדות; אחרי הכל, מספר אלגברי אינו אלא איבר אלגברי של שדה המספרים המרוכבים מעל שדה המספרים הרציונליים. באופן דומה, ההגדרה השנייה הולמת אם חושבים על שדה המספרים המרוכבים כאלגברה מעל חוג המספרים השלמים: האיברים האלגבריים בהרחבה זו הם בדיוק המספרים האלגבריים.

שלמים אלגבריים

מספר (מרוכב) המהווה שורש של פולינום מתוקן בעל מקדמים שלמים, נקרא שלם אלגברי. אוסף השלמים האלגבריים בשדה מהווה חוג. מקורו של השם שלמים אלגברים הוא בכך שמספר רציונלי הוא שלם אלגברי אם ורק אם הוא שלם (במובן הרגיל). תורת המספרים האלגברית, העוסקת בתכונות של שלמים אלגבריים והמבנים הקשורים אליהם, היא הכללה של תורת המספרים הקלאסית.

הכללה

על אברים אלגבריים בהרחבה של שדות, או באופן כללי יותר באלגברה, ראו בערך איבר אלגברי.

ראו גם