הדלתא של קרונקר

הדלתא של קרונקר היא סימון שימושי ביותר באלגברה לינארית בפרט ובמתמטיקה ובפיזיקה בכלל.

הדלתא של קרונקר מוגדרת על ידי

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}i=j\\0&{\mbox{if }}i\neq j\end{matrix}}\right.$

כלומר זו פונקציה של שני משתנים, בדרך כלל שלמים, המקבלת את הערך 1 כאשר המשתנים שווים זה לזה, ואת הערך 0 כאשר הם שונים זה מזה. פעמים רבות מתייחסים לדלתא של קרונקר כאל כתיב מקוצר, ולא כאל פונקציה. הדלתא של קרונקר קרויה על שמו של המתמטיקאי הגרמני בן המאה ה-19, לאופולד קרונקר.

משמעות

• אפשר להבין את ההגדרה לעיל פשוט כסימון מקוצר, שאפשר לשלב בביטויים בהם יש הפרדה למקרים, במקום לרשום ניסוח מילולי מייגע.
• אפשר להבין את ההגדרה לעיל ככתיב טנזורי של מטריצת היחידה, שכן אם נתייחס לאינדקסים של טנזור הדלתא כאל קואורדינטות במטריצה נקבל מטריצה שבה כל איברי האלכסון הם 1 ואילו כל השאר הם 0. לכן מקובל לרשום ש $\ Id=I=\delta _{i,j}$.
• כאשר מתייחסים לדלתא של קרונקר בתור טנזור, מקובל לרשום אותו בצורה $\delta _{i}^{j}$ כאשר אחד האינדקסים הוא קו-ואריאנטי ואילו השני הוא קונטרה-וריאנטי.

תכונות

• סימטריה ביחס לאינדקסים: $\ \delta _{i,j}=\delta _{j,i}$
• מבצע שינוי אינדקסים: $\ \sum _{i}{\delta _{i,j}A_{i}}=A_{j}$
• זהות העקבה: $\ \sum _{i=1}^{n}{\delta _{i,i}}=n$

ראו גם

• טנזור לוי-צ'יויטה
• פונקציית דלתא של דיראק
• טנזור
• אלגברה לינארית
• מטריצה
• אורתוגונליות
• לאופולד קרונקר