קטע (מתמטיקה) – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־01:52, 20 בדצמבר 2012

בגאומטריה, קטע הוא קבוצת כל הנקודות על ישר אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה (קטע סגור), למעט שתי נקודות הקצה (קטע פתוח) או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).

קטע במרחב אוקלידי הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.

במקרה שהמרחב הוא הישר הממשי אפשר לתאר קטע כקבוצה המכילה כל מספר ממשי בין שני מספרים נתונים, ואפשר שגם את אחד הקצוות או את שניהם. כמו כן, ייתכן שבאחד הצדדים או בשניהם אין קצה. לדוגמה, הקטע שמסומן $\left(10,20\right)$ מכיל את כל המספרים הממשיים בין 10 ל-20, לא כולל 10 ו-20. מצד שני, הקטע $\left[10,20\right]$ מכיל כל מספר בין 10 ל-20 וגם את המספרים 10 ו-20. אפשרויות נוספות מופיעות בהמשך.

בהכללה, קטע הוא תת קבוצה $\,S$ של קבוצה עם יחס סדר מלא $\,T$ , המקיימת שלכל $x,y\in S$ ו- $z\in T$ , אם $\,x<z<y$ אזי $z\in S$ . במקרה של יחס הסדר על הממשיים ההגדרה שקולה להגדרה הרגילה של קטע.

קטעים ממשיים

מקרה פרטי חשוב הוא כאשר $T=\mathbb {R}$ , קבוצת המספרים הממשיים.

קטעים (בהגדרה המוכללת) ב- $\mathbb {R}$ נחלקים לאחד עשר הסוגים הבאים (כש- $\,a$ ו- $\,b$ הם מספרים ממשיים, $\,a<b$ ):

$(a,b)=\left\{x|a<x<b\right\}$ (נקרא גם "קטע פתוח", "רווח", "מרווח" או "אינטרוול")
$[a,b]=\left\{x|a\leq x\leq b\right\}$ (נקרא "קטע סגור")
$[a,b)=\left\{x|a\leq x<b\right\}$
$(a,b]=\left\{x|a<x\leq b\right\}$
$(a,\infty )=\left\{x|x>a\right\}$ (נקראת "קרן פתוחה")
$[a,\infty )=\left\{x|x\geq a\right\}$ (נקראת "קרן סגורה")
$(-\infty ,b)=\left\{x|x<b\right\}$ (נקראת "קרן פתוחה")
$(-\infty ,b]=\left\{x|x\leq b\right\}$ (נקראת "קרן סגורה")
$\left(-\infty ,\infty \right)=\mathbb {R}$ , הישר הממשי כולו
$[a,a]=\left\{a\right\}$ , יחידון
$(a,a)=\emptyset$ , הקבוצה הריקה

$\,a$ ו- $\,b$ , היכן שהן מופיעות לעיל, נקראות נקודות קצה או פשוט קצות הקטע. סוגר מרובע מציין שנקודת הקצה שייכת לקטע, וסוגר עגול מציין שלא. למידע נוסף על הסימונים האלה, ראו תורת הקבוצות הנאיבית.

קטעים מהסוגים 1, 5, 7, 9 ו-11 לעיל נקראים קטעים פתוחים (מכיוון שהם קבוצות פתוחות) והקטעים 2, 6, 8, 10 ו-11 נקראים קטעים סגורים (מכיוון שהם קבוצות סגורות).

הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים קטעים חסומים והיתר הם קטעים לא חסומים.

האורך של כל אחד מהקטעים החסומים 1, 2, 3 ו-4 הוא $\ l(I)=b-a$ .

לקטעים תפקיד חשוב בתורת האינטגרציה, מכיוון שהם הקבוצות הפשוטות ביותר שניתן להגדיר להן בקלות "גודל" או "מידה" או "אורך". את מושג המידה ניתן להרחיב לקבוצות מורכבות יותר, ולקבל את מידת בורל ולבסוף את מידת לבג.

הקטעים מהווים את אוסף תת-הקבוצות הקשירות של הממשיים, וכן את אוסף תת-הקבוצות הקמורות של הממשיים. מכך שתמונה רציפה של קבוצה קשירה היא קשירה נובע שאם $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ היא פונקציה רציפה ו- $\,I$ הוא קטע, אזי התמונה $f\left(I\right)$ גם היא קטע. זהו אחד הניסוחים של משפט ערך הביניים.

קישורים חיצוניים

הסבר על קטעים - מתוך מילון המונחים בגאומטריה של משרד החינוך.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
 ב[[גאומטריה]], '''קטע''' הוא קבוצת כל הנקודות על [[ישר]] אשר נמצאות בין שתי נקודות שונות (הנקראות קצות הקטע או נקודות הקצה של הקטע), לרבות נקודות הקצה ('''קטע סגור'''), למעט שתי נקודות הקצה ('''קטע פתוח''') או לרבות נקודת קצה אחת ולמעט השנייה (קטע סגור למחצה, או פתוח למחצה).
-'''קטע''', ב[[גאומטריה]], '''בהגדרה מוכללת''', הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, הקבוצה הריקה, נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.
+'''קטע''' ב[[מרחב אוקלידי]] הוא קבוצת נקודות על ישר (לרבות הקבוצה הריקה) אשר מכילה את כל הנקודות שבין שתי נקודות כלשהן בקבוצה. בהגדרה המוכללת, [[הקבוצה הריקה]], נקודה בודדת, קרן וכל הישר - גם הם נקראים קטעים.
-'''קטע''', ב[[מתמטיקה]] אלמנטרית,  הוא קבוצה המכילה כל [[מספר ממשי]] בין שני מספרים נתונים, ואפשר שגם את אחד המספרים או את שניהם. לדוגמה, הקטע שמסומן <math>\left(10,20\right)</math> מכיל את כל המספרים הממשיים בין 10 ל-20, לא כולל 10 ו-20. מצד שני, הקטע <math>\left[10,20\right]</math> מכיל כל מספר בין 10 ל-20 '''וגם''' את המספרים 10 ו-20. אפשרויות נוספות מופיעות בהמשך.
+במקרה שהמרחב הוא [[הישר הממשי]] אפשר לתאר קטע כקבוצה המכילה כל [[מספר ממשי]] בין שני מספרים נתונים, ואפשר שגם את אחד הקצוות או את שניהם. כמו כן, ייתכן שבאחד הצדדים או בשניהם אין קצה. לדוגמה, הקטע שמסומן <math>\left(10,20\right)</math> מכיל את כל המספרים הממשיים בין 10 ל-20, לא כולל 10 ו-20. מצד שני, הקטע <math>\left[10,20\right]</math> מכיל כל מספר בין 10 ל-20 '''וגם''' את המספרים 10 ו-20. אפשרויות נוספות מופיעות בהמשך.
-ב[[מתמטיקה]] גבוהה, ההגדרה הפורמלית (הגדרה מוכללת) של קטע היא: '''קטע''' הוא [[תת קבוצה]] <math>\,S</math> של קבוצה עם [[סדר מלא|יחס סדר מלא]] <math>\,T</math>, המקיימת שלכל <math>x,y\in S</math> ו-<math>z\in T</math>, אם <math>\,x<z<y</math> אזי <math>z\in S</math>.
+בהכללה, '''קטע''' הוא [[תת קבוצה]] <math>\,S</math> של קבוצה עם [[סדר מלא|יחס סדר מלא]] <math>\,T</math>, המקיימת שלכל <math>x,y\in S</math> ו-<math>z\in T</math>, אם <math>\,x<z<y</math> אזי <math>z\in S</math>. במקרה של יחס הסדר על הממשיים ההגדרה שקולה להגדרה הרגילה של קטע.
 ==קטעים ממשיים==
@@ שורה 20: / שורה 20: @@
 # <math>(-\infty,b] = \left\{ x | x \le b \right\}</math> (נקראת "קרן סגורה")
 # <math>\left(-\infty,\infty\right) = \mathbb R</math>, [[הישר הממשי]] כולו
-# <math>\left\{a\right\}</math>
+# <math>[a,a]=\left\{a\right\}</math>, [[יחידון]]
-# <math>\emptyset</math>, הקבוצה הריקה
+# <math>(a,a)=\emptyset</math>, [[הקבוצה הריקה]]
 <math>\,a</math> ו-<math>\,b</math>, היכן שהן מופיעות לעיל, נקראות '''נקודות קצה''' או פשוט '''קצות הקטע'''. סוגר מרובע מציין שנקודת הקצה שייכת לקטע, וסוגר עגול מציין שלא. למידע נוסף על הסימונים האלה, ראו [[תורת הקבוצות הנאיבית]].
@@ שורה 27: / שורה 27: @@
 קטעים מהסוגים 1, 5, 7, 9 ו-11 לעיל נקראים '''קטעים פתוחים''' (מכיוון שהם [[קבוצה פתוחה|קבוצות פתוחות]]) והקטעים 2, 6, 8, 10 ו-11 נקראים '''קטעים סגורים''' (מכיוון שהם [[קבוצה סגורה|קבוצות סגורות]]).
-הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים '''קטעים חסומים''' והיתר הם '''קטעים לא חסומים'''. קטע 10 נקרא גם '''יחידון''' או '''סינגלטון'''.
+הקטעים 1, 2, 3, 4, 10 ו-11 נקראים '''קטעים חסומים''' והיתר הם '''קטעים לא חסומים'''.
 ה'''אורך''' של כל אחד מהקטעים החסומים 1, 2, 3 ו-4 הוא <math>\ l(I) = b-a</math>.
@@ שורה 42: / שורה 42: @@
 [[קטגוריה:גאומטריה]]
 [[קטגוריה:מספרים ממשיים]]
-{{נ}}
 [[en:Interval (mathematics)]]