שיחה:משפט נקודת השבת של בראואר

שאלה

בהוכחת המקרה הכללי כתוב:

תהי $p\in \langle p_{i_{0}},...,p_{i_{k}}\rangle$ כאשר ($0\leq i_{0}<...<i_{k}\leq n$) כלומר $\lambda _{i_{0}}+...+\lambda _{i_{k}}=1$, או במילים אחרות מתקיים ש-$\displaystyle \sum _{j=0}^{k}\lambda _{i_{j}}'\leq \sum _{i=0}^{k}\lambda _{i_{j}}$

מדוע סכום המשקלות הוא 1? מהיכן נובע האי-שיוויון? בתודה, אבינעם - שיחה 11:31, 19 באפריל 2010 (IDT)

ראה קואורדינטות בריצנטריות להסבר כללי. בסימפלקס שקודקודיו $\ p_{1},\dots ,p_{n}$, אפשר להציג כל נקודה (פנימית או על השפה) כצירוף ליניארי של הקודקודים, עם משקלים חיוביים שסכומם תמיד 1 (זו הכללה של המקרה המוכר מקטע, בו n=1). הפונקציה f נכתבת בקואורדינטות האלה, ואז המקדמים $\ \lambda _{i}'$ הם פונקציות (רציפות) של כל המקדמים המקוריים. בהוכחה מדובר על נקודה הנמצאת על שפה מסויימת של הסימפלקס, ואז ידוע שמקדמים מסויימים מתאפסים, וסכום שאר המקדמים הוא 1. אבל בהצגה המתאימה של f על אותה שפה, סכום כל המקדמים הוא 1, ולכן סכום המקדמים המתאימים לאותה שפה קטן או שווה ל-1. עוזי ו. - שיחה 13:01, 19 באפריל 2010 (IDT)

תודה על ההסבר. אבינעם - שיחה 14:09, 19 באפריל 2010 (IDT)

הסעיף הדגמות איננו נכון! לעניות דעתי ויש למחקו עד שיימצא לו נוסח נכון

המסקנה לגבי נוזל שנבחש בכלי, כי נקודה מסוימת שלו תמיד נשארת באותו מקום בו היא הייתה לפי בחישתו, פשוט איננה נכונה !

למשל, כאשר כל נקודה של משקה הגיעה למקום גבוה בס"מ יותר מהמקום הקודם, פרט לנקודות שהיו בס"מ העליון, שהן הגיעו כולן אל הס"מ התחתון.

בדוגמה זו של משקה המעורבב בכוס ויתרנו על תנאי שהצבנו בדוגמה הדו-ממדית שמותר רק לקמט את הנייר, אך לא קורעים אותו !

כאן "קרענו ופזרנו" את המשקה, לא "כווצנו וקמטנו" אותו. (תנאי זה מעוגן בהגדרה שהפונקציה צריכה להיות רציפה ?).

ושגיאה נוספת:

נוכל לשאול גם לגבי הנייר המקומט: נתאר לעצמנו את הדוגמה הפשוטה שהנייר העליון מונח על גבי התחתון ללא שום כיווץ או קיפול שלו, רק כשהוא פרוש לכל שטחו, אבל נתון עליו כשהוא מסובב ב-180 מעלות.

הנקודה היחידה שלא שינתה את מקומה היא נקודת המרכז. כל נקודה אחרת שינתה את מקומה ביחס לשני הקואורדינטות, כאשר אם נקודת המרכז היא מרכז הצירים הרי כל נקודה אחרת הפכה את הסימון שלה (פלוס למינוס, ולהיפך בהתאם), הן בציר ה-X והן בציר ה-Y.

כל זה נכון רק כאשר אנחנו מדברים על המשפט בייחס לנקודה במובן הגאומטרי שלה.

לא כן אם נדון ביחס לנקודה כלשהי של חומר, כאשר ל"נקודה" כזאת יש שטח מינימילי הגדול מ-0. שאז אין שום "נקודה" כזאת שנשארה במקום הקודם. כל "נקודה של חומר" שינתה את מקומה. נקודת המרכז, איננה תופסת שטח כלל.

לכן כאשר אנחנו מדברים על חומר, המשפט איננו נכון. הוא נכון רק לגבי "נקודה גאומטרית" שאין לה שום שטח. כך שלא נכון לדבר לגבי הנייר עצמו, אלא לגבי נקודות על הנייר.

ובאותה מידה גם לגבי המשקה שבכוס, הרי שהדוגמה איננה נכונה כלל, כי היא מתייחסת למשקה, זאת אומרת לחומר. שלגביו המשפט איננו נכון. רצוני - שיחה 04:53, 29 בינואר 2012 (IST)

שום בחישה של הכוס לא יכולה לגרום לנקודות לנוע באופן שתיארת. לכן המשפט עדין נכון. לגבי הנייר, ברור שמדובר רק בנקודה גאומטרית, לא טענו אחרת. הרי דף אינו רציף בכלל, הוא מורכב מאטומים שבינהם ריק. דניאל • תרמו ערך 16:52, 13 בפברואר 2012 (IST)

באשר לטענתי השניה: אמנם לגבי הנייר, לא נטען אחרת, אם כי עדיין לא מודגש מספיק שהכוונה היא לנקודה תאורטית, לא לחומר (כשעוברים לדבר על "דוגמאות בעולם האמיתי", אנחנו בדרך כלל עוברים גם אל קהל יעד עממי יותר שזקוק להבהרה כזאת). לעניות דעתי יש גם הבדל בין "נקודה מסוימת על הנייר" ("נקודה תיאורטית" לפי המינוח הלא-כל-כך-נכון שלי) לבין נקודה מסוימת בנייר" (צירוף מילים שנותן תחושה של חלקיק חומרי).

חמור יותר לגבי המשקה, אודותיו מדובר בפירוש על "נקודה מסוימת של הנוזל", כאן ישנו משקל כבד יותר לחשש של טעות בהבנה.

ובאשר לטענתי הראשונה: תיארתי מקרה מסוים. לא הבנתי למה הוא לא יתכן תיאורטית. רצוני - שיחה 21:04, 13 בפברואר 2012 (IST)

משוב מ-19 בדצמבר 2012

משהו לא מנוסח טוב בשורה האחרונה בפיסקה הפותחת. המשפט לא מוכיח כלום לאור העובדה שמשפטים לא באים להוכיח אלא הוכחות. הודעה זו נכתבה באמצעות מערכת המשוב. 
94.188.255.242 19:05, 19 בדצמבר 2012 (IST)

זו אינה שגיאה. העובדה שיש משפט כזה מוכיחה שיש נקודת שבת. עוזי ו. - שיחה 00:31, 20 בדצמבר 2012 (IST)

לדעתי הפירוש שלך רחוק. כשכתוב "המשפט מוכיח" נראה לי מאוד מפולפל לפרש זאת כ"עובדת קיום המשפט מוכיחה" ולפי זה לא מדובר בהוכחה במובן המתמטי אלא במובן האמפירי - אנו רואים כי הרבה מתמטיקאים השתכנעו בנכונותו של המשפט ולכן מאמינים לתוכן שלו - ולפי זה לא ברור מה הקשר בין תחילת המשפט לסופו. 94.188.255.242 15:37, 28 בדצמבר 2012 (IST)