לוגיקה מתמטית

לוגיקה מתמטית הוא תחום במתמטיקה, העוסק במערכות פורמליות ובדרך בה הן מגלמות מושגים אינטואיטיביים, כגון הוכחה או חישוביות. התחום הוא אחד מקבוצה של תחומים המכונים יסודות המתמטיקה משום שהם עוסקים בבסיס הפורמלי של המתמטיקה כולה. לוגיקה מתמטית עוסקת באותם חלקים של הלוגיקה שניתן ליצור להם מודל מתמטי. בעבר נקרא התחום גם בשמות לוגיקה סימבולית (בשל עיסוקו בטענות המיוצגות בידי סמלים) או מטה-מתמטיקה. השם השני מתייחס כיום רק לתורת ההוכחות, אחד התחומים בלוגיקה מתמטית.

בכדי לנתח טענות, הלוגיקה המתמטית דורשת שאלו יעברו הצרנה: תרגום הטענות בשפה המדוברת (או בשפה המתמטית) לטענות בתחשיב ריגורוזי וחד משמעי - כלומר על פי חוקי התחביר הלוגי. כאשר טענות אטומיות מסומנות באותיות לטיניות או יווניות. שני התחשיבים הנפוצים הם "תחשיב הפסוקים" הבסיסי, העוסק בקשר בין ערכי האמת של טענות פשוטות ומורכבות, ו"תחשיב הפרדיקטים" המתקדם, המאפשר לטפל במבנה הפנימי של טענות ובקשר שהן מביעות בין אובייקטים לבין המושגים (פרדיקטים) החלים עליהם.

הוכחת טענות בלוגיקה מתמטית היא תהליך שבו מתחילים מאוסף של הנחות יסוד ומסיקים מהן סדרה של מסקנות עד שמגיעים לטענה המבוקשת. הסקת המסקנות מתבססת על אוסף כללי יסוד שאי אפשר להוכיח את נכונותם. כלל יסוד כזה מכונה אקסיומה. הלוגיקה המתמטית מנתחת את הטענות המוצרנות לפי האקסיומות וכללי היסק של המערכת. ניתוח זה של הוכחות (טיעונים המורכבים ממספר טענות) הוא לא יותר מאשר טיפול פורמלי במחרוזות וניתן לביצוע במלואו, ללא מעורבות אדם, על ידי מחשב. מכיוון שטענות מורכבות שמוצרנות במלואן הן בלתי קריאות בפועל למרבית בני האדם (כולל מתמטיקאים), ישנן הוכחות שרק מחשבים יכולים לבצע בפועל. ואולם, מאותה סיבה, הוכחת משפטים מתמטיים רבים עדיין נעשית על ידי מתמטיקאים בשפה שהיא שילוב בין השפה היום-יומית לנוסחאות מתמטיות והצרנה לוגית חלקית.

כך לדוגמה, את הטענות "כשאני שבע אני מאושר" ו"כשאני מאושר אני פוצח בשיר" ניתן לכתוב כך:

1. $A\rightarrow B$
2. $B\rightarrow C$

כאשר A משמעותו "אני שבע", B משמעותו "אני מאושר" ו-C משמעותו "אני פוצח בשיר" ואילו החץ ($\rightarrow$) משמעותו היא שאמיתות הטענה בצד שמאל של החץ תגרור את אמיתות הטענה בצד ימין של החץ. כלומר, 1 פירושו "אם אני שבע אז אני מאושר" ו-2 פירושו "אם אני מאושר אז אני פוצח בשיר".

הלוגיקה המתמטית מעניקה כללים בעזרתם ניתן להסיק טענות חדשות מתוך טענות קיימות. לדוגמה, משני הביטויים למעלה ניתן להסיק באמצעות כלל הטרנזיטיביות כי:

$A\rightarrow C$

ומכאן אנחנו מסיקים שהטענה "כשאני שבע אני פוצח בשיר" נכונה.

ראו גם

• תחשיב הפרדיקטים
• תחשיב פסוקים
• שפה מסדר ראשון
• שפה מסדר שני

קישורים חיצוניים

• עזריאל לוי, דניאלה ליבוביץ, שמואל ברגר, לוגיקה מתימטית, יחידות 1-5, הוצאת האוניברסיטה הפתוחה
• סטיבן בילאניוק, A Problem Course in Mathematical Logic, אוניברסיטת טרנט, קנדה.
• בועז צבאן, מבוא ללוגיקה מתמטית, המחלקה למתמטיקה, אוניברסיטת בר-אילן, הספר מכיל רקע ותרגילים לנושא תחשיב הפסוקים ולוגיקה מסדר ראשון. נכתב במקור על פי מערכי שיעורים של פרופסור חיים יהודה.
• Metamath Proof Explorer: מאגר של משפטים מתמטיים עם הוכחות מלאות בעזרת לוגיקה מתמטית.