שילוש זווית

בגאומטריית המישור, בעיית שילוש הזווית (או טריסקציה של זווית) מבקשת לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים שווים באמצעות סרגל ומחוגה. זוהי אחת מן הבעיות הגאומטריות של ימי קדם שלא נמצא לה פתרון במשך 2000 שנה. במאה ה-19 פותחה תורת גלואה שאפשרה להוכיח כי שילוש זווית אינו אפשרי באמצעות סרגל ומחוגה. למעשה, אפילו את הזווית של משולש שווה-צלעות לא ניתן לשלש בסרגל ומחוגה.

עם זאת, אפשר לשלש זוויות אם נעזרים בכלים נוספים (מלבד סרגל ומחוגה):

שילוש זווית באמצעות רצועה. נתונה הזווית AOB (באיור:בכחול), כאשר O מרכזו של מעגל שעליו מונחות הנקודות A ו-B. ממשיכים את AO עד לחיתוך D עם המעגל, ומעבירים דרך D מקביל ל-OB, החותך את המעגל בנקודה E. באמצעות הרצועה, מאתרים על הישר OB נקודה X כך שהמרחק ממנה לחיתוך Y של המעגל עם DX שווה לרדיוס המעגל (זו פעולה שלא ניתן לבצע בסרגל ומחוגה). הזווית EDX (באיור: באדום) שווה לשליש הזווית AOB.

• ניקומדס (במאה השנייה לפני הספירה) הראה שאפשר לשלש זווית אם נעזרים בקונכואידה.
• נניח ש- P נקודה על שפת מעגל ברדיוס R; המקום הגאומטרי של כל הנקודות המתקבלות מהמשכת הישר העובר ב-P דרך נקודה X על המעגל, למרחק של R, מאפשר לשלש כל זווית קטנה מ-135° אשר קודקודה הוא מרכז המעגל, כמתואר באיור משמאל.
• היפיאס (במאה הראשונה לפני הספירה) הראה שבעזרת קוואדרטריקס ניתן לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים. (שמו של עקום זה בא לו מיכולתו לרבע את המעגל).
• ארכימדס הראה שאפשר, בעזרת מחוגה ורצועה (סרגל כפול, כלומר סרגל שיש לו שני צדדים ישרים מקבילים, במרחק ידוע), לחלק זווית נתונה לשלושה חלקים. ראו איור משמאל.

הוכחת אי-אפשרות

קל לבנות זווית של $60^{\circ }$ כי זו הזווית הפנימית במשולש שווה-צלעות. לכן כדי להוכיח שלא ניתן לשלש זווית בסרגל ומחוגה, מספיק להראות שלא ניתן לבנות זווית של $20^{\circ }$. נניח בשלילה שניתן לבנות זווית שכזו, אז ניתן לבנות קטע באורך $\cos(20^{\circ })$ בתור ניצב במשולש ישר-זווית עם זווית של $20^{\circ }$ ויתר באורך 1. מזהויות טריגונומטריות פשוטות נובע ש:

$4\cos ^{3}(20^{\circ })-3\cos(20^{\circ })=\cos(60^{\circ })=1/2$

מכאן ש-$\cos(20^{\circ })$ הוא שורש של הפולינום $8x^{3}-6x-1$. זהו פולינום אי-פריק מעל השדה המספרים הרציונליים (כי בדיקה של כל המועמדים האפשריים תראה שאין לו שורש רציונלי). לכן $\cos(20^{\circ })$ הוא מספר אלגברי מדרגה 3.

מספר יכול להתקבל כאורך של קטע ניתן לבנייה אם ורק אם הוא מוכל בהרחבת שדות של הרציונליים מדרגה שהיא חזקה של 2 (כי בניות בסרגל ומחוגה מתקבלות מחיתוכים בין ישרים ומעגלים שמניבים הרחבות ריבועיות). לפי ההנחה $\cos(20^{\circ })$ ניתן לבנייה ולכן קיימת הרחבה $F/\mathbb {Q}$ כך ש-$[F:\mathbb {Q} ]=2^{n}$ וכן $\cos(20^{\circ })\in F$. אבל אז נקבל:

$2^{n}=[F:\mathbb {Q} (\cos(20^{\circ }))]\cdot [\mathbb {Q} (\cos(20^{\circ })):\mathbb {Q} ]=[F:\mathbb {Q} (\cos(20^{\circ }))]\cdot 3$

קיבלנו ש-3 מחלק חזקה של 2 וזו סתירה.

קישורים חיצוניים

• שילוש זווית, באתר MathWorld (באנגלית)