פונקציה קבועה

פונקציה קבועה היא פונקציה שמקבלת את אותו ערך בכל איבר של תחום הגדרתה. כלומר לכל x ו-y בתחום מתקיים $f(x)=f(y)$.

דוגמה: הפונקציה $\ f(x)\equiv 1$, שלכל ערך מחזירה 1, היא פונקציה קבועה. לעומת זאת, הפונקציה $\ f(x)=x$ מאוסף המספרים הממשיים לעצמו איננה קבועה משום שלמשל $\ f(0)\neq f(1)$.

הפונקציה הריקה, כלומר הפונקציה שהתחום שלה הוא הקבוצה הריקה, היא פונקציה קבועה באופן ריק, משום שאין x, y המקיימים $\ f(x)\neq f(y)$. יש שמגדירים פונקציה קבועה ככזו שהתחום שלה אינו ריק.

תכונות

• כאשר f : A → B היא פונקציה קבועה, אזי לכל שתי פונקציות g, h : C → A, מתקיים, ביחס לפעולת ההרכבה (שתסומן o ‏): f o g = f o h.
• עבור פונקציות ממשיות המוגדרות על קבוצה פתוחה וקשירה, פונקציה היא קבועה אם ורק אם היא גזירה ונגזרתה שווה ל- 0 בכל נקודה.
  • הדרישה שהקבוצה תהיה קשירה הכרחית: הנגזרת של הפונקציה $[x]$ (הערך השלם) מתאפסת בקבוצה $(0,1)\cup (1,2)$ אבל הפונקציה אינה קבועה בקבוצה.
  • לא מספיק לדרוש שהתאפסות הנגזרת תהיה כמעט בכל מקום כפי שמדגימות פונקציות סינגולריות.
• באופן כללי יותר, פונקציה בכמה משתנים מקבוצה פתוחה וקשירה במרחב האוקלידי ה-n ממדי, $\ \mathbb {R} ^{n}$, לממשיים היא קבועה אם ורק אם הגרדיאנט שלה מתאפס בכל התחום.
• הגרף של פונקציה קבועה מהממשיים לממשיים הוא ישר המקביל לציר ה- x.
• בכל מרחב טופולוגי הפונקציות הקבועות הן פונקציות רציפות.
• בחוג $L$ של פונקציות מעל חוג $R$ הכולל את הפונקציות הקבועות, ניתן לשכן את החוג $R$ כאוסף הפונקציות הקבועות ב-$L$ (לכל $r\in R$ מותאמת הפונקציה הקבועה $f(x)\equiv r$). באותה צורה ניתן לשכן חוג בחוג הפולינומים מעליו.

פונקציה קבועה מקומית

במרחב טופולוגי כללי, פונקציה נקראת קבועה באופן מקומי אם לכל נקודה קיימת סביבה שבה הפונקציה קבועה. פונקציות כאלו הן תמיד רציפות. אם המרחב קשיר אז פונקציה קבועה באופן מקומי היא קבועה. עובדה זו פשוטה להוכחה ישירות מן ההגדרה. נניח $X$ מרחב קשיר. נבחר $a\in X$. מהקביעות באופן מקומי נובע ש-$\{x\in X:f(x)=f(a)\}$ ו-$\{x\in X:f(x)\neq f(a)\}$ הן קבוצות פתוחות וזרות שאיחודן הוא $X$. הקבוצה הראשונה אינה ריקה (a איבר שלה) ולכן מהקשירות נובע שהקבוצה השנייה ריקה. כלומר $f(x)=f(a)$ לכל $x\in X$.

במרחבים לא קשירים יש פונקציות קבועות מקומית שאינן קבועות. למשל הפונקציה $f(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{if }}x<{\sqrt {2}}\\0&{\mbox{if }}x>{\sqrt {2}}\end{matrix}}\right.$ קבועה באופן מקומי במרחב המספרים הרציונליים $\mathbb {Q}$.