פתרון אנליטי – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־18:52, 21 באפריל 2013

במתמטיקה, פתרון אנליטי של משוואה או מערכת משוואות הוא הצגה של הפתרון באופן ישיר ומפורש, ללא צורך בקירובים או סכומים אינסופיים. בדרך כלל, גם אם לא תמיד, מועדף פתרון אנליטי על-פני פתרון נומרי הדורש סדרת קירובים.

פתרון של משוואה פולינומית או מערכת של משוואות כאלה הוא פתרון אנליטי עבור אחד המשתנים, אם הוא מציג אותו כפונקציה מפורשת של שאר המשתנים והפרמטרים. לדוגמא, את משוואת המעגל $\ x^{2}+y^{2}=R^{2}$ אפשר לפתור בצורה $y=\pm {\sqrt {R^{2}-x^{2}}}$ , שבה הצבת ערכים באגף ימין נותנת מיד ערך למשתנה y שבאגף שמאל. יש משוואות רבות שלא ניתן לפתור באופן כזה.

משוואות דיפרציאליות

בהקשרים מורכבים יותר, כגון כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית, כל הצגה המעקרת את המרכיב הדיפרנציאלי במשוואה נחשבת לפתרון אנליטי. לדוגמא, $y=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {1}{(n-1)!^{2}}}t^{n}$ הוא פתרון אנליטי של המשוואה $t^{2}y''-ty'+(1-t)*y=0$ .

פתרון אנליטי למשוואה דיפרנציאלית אפשרי בדרך כלל רק עבור תנאי השפה הפשוטים ביותר. תנאי שפה כלליים מובילים כמעט תמיד למשוואה להיות לא פתירה אנליטית.

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
+ב[[מתמטיקה]], '''פתרון אנליטי''' של [[משוואה]] או מערכת משוואות הוא הצגה של הפתרון באופן ישיר ומפורש, ללא צורך בקירובים או סכומים אינסופיים. בדרך כלל, גם אם לא תמיד, מועדף פתרון אנליטי על-פני ''[[אנליזה נומרית|פתרון נומרי]]'' הדורש סדרת קירובים.
-ב[[מתמטיקה]], '''פתרון אנליטי''' של [[משוואה]] עבור אחד ה[[משתנה|משתנים]] שבמשוואה, הוא בדרך כלל כתיבה של המשוואה כך שהמשתנה הרצוי מופיע לבדו בצד אחד של המשוואה, וכל יתר המספרים, המשתנים וה[[פונקציה|פונקציות]] מופיעים בצד השני. קיימות משוואות רבות שאין להן פתרון אנליטי.
+פתרון של [[משוואה פולינומית]] או מערכת של משוואות כאלה הוא פתרון אנליטי עבור אחד המשתנים, אם הוא מציג אותו כפונקציה מפורשת של שאר המשתנים והפרמטרים. לדוגמא, את משוואת המעגל <math>\ x^2+y^2=R^2</math> אפשר לפתור בצורה <math>y = \pm \sqrt{R^2 - x^2}</math>, שבה הצבת ערכים באגף ימין נותנת מיד ערך למשתנה y שבאגף שמאל. יש משוואות רבות שלא ניתן לפתור באופן כזה.
-פתרון אנליטי אינו מוגדר היטב אלא כולל מגוון אופני כתיבה. עבור [[משוואה אלגברית]], הדרישה היא בדרך כלל שהפתרון יהיה ביטוי הכולל פעולות [[אריתמטיקה|חשבון]] ופונקציות יסודיות ([[סינוס]] ו[[קוסינוס]] למשל). לעומת זאת עבור [[משוואה דיפרנציאלית]] גם [[טור]]ים ו[[פנקציה סתומה|פונקציות סתומות]] (שאינן מכילות נגזרות) נחשבים לפתרון אנליטי של המשוואה הדיפרציאלית.
+==משוואות דיפרציאליות==
-בניגוד לפתרון אנליטי, ''[[אנליזה נומרית|פתרון נומרי]]'' אינו מחפש תלות פונקציונלית, אלא את הפתרונות המספריים למשוואה, על ידי שימוש במספר סופי של פעולות [[אריתמטיקה|חשבון]].
+בהקשרים מורכבים יותר, כגון כאשר פותרים [[משוואה דיפרנציאלית]], כל הצגה המעקרת את המרכיב הדיפרנציאלי במשוואה נחשבת לפתרון אנליטי. לדוגמא,
+<math>y = \sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{(n-1)!^2}t^n</math> הוא פתרון אנליטי של המשוואה <math>t^2 y'' - t y' + (1-t) * y = 0</math>.
+פתרון אנליטי למשוואה דיפרנציאלית אפשרי בדרך כלל רק עבור [[תנאי שפה|תנאי השפה]] הפשוטים ביותר. תנאי שפה כלליים מובילים כמעט תמיד למשוואה להיות לא פתירה אנליטית.
-==דוגמה==
-ב[[משוואה ריבועית]]:
-:<math>ax^2+bx+c=0,\,</math>
-הפתרון האנליטי עבור <math>x</math> ייכתב בצורה:
-:<math>x={-b\pm\sqrt{b^2-4ac} \over 2a}</math>.
-במקרה זה יכולים להיות שני פתרונות לצירופים שונים של ה[[פרמטר]]ים a,b,c (בצירופים מסוימים יש רק פתרון אחד, וקיימים צירופים שעבורם אין פתרון עם מספרים ממשיים, ראו [[משוואה ריבועית]]).
-==משוואות דיפרציאליות==
-עבור [[משוואה דיפרנציאלית]], פתרון אנליטי הוא אפשרי בדרך כלל רק עבור [[תנאי שפה|תנאי השפה]] הפשוטים ביותר. לדוגמה, תנאי שפה שהמשתנה ונגזרותיו שווים לקבוע באינסוף, או על שפת כדור, או על שפת קוביה. תנאי שפה אחרים יגרמו כמעט תמיד למשוואה להיות לא פתירה אנליטית. במקרה כזה יש לפנות ל[[אנליזה נומרית]] בשיטות כמו [[אלמנטים סופיים]] או [[שיטת ההפרש הסופי בתחום הזמן|הפרשים סופיים]].
-[[קטגוריה:מתמטיקה]]
+[[קטגוריה:משוואות]]