משפט האינטגרל של קושי

באנליזה מרוכבת, משפט האינטגרל של קושי הוא משפט מרכזי ובעל השלכות רבות, העוסק בחישוב אינטגרל קווי של פונקציות מרוכבות הולומורפיות. בבסיסו, המשפט אומר שלאורך מסלול סגור והומולוגי לאפס (כגון השפה של תחום פשוט קשר), האינטגרל של כל פונקציה שהיא הולומורפית בתחום שהמסלול סוגר ורציפה על השפה, שווה לאפס. הרחבה של המשפט עוסקת גם במקרה שבו יש חורים בתחום, או נקודות בתוכו שבהן הפונקציה אינה הולומורפית.

למשפט זה תוצאות חשובות רבות, כגון נוסחת האינטגרל של קושי, משפט ליוביל, המשפט היסודי של האלגברה, משפט השארית ועוד. מהמשפט ניתן גם להסיק כי פונקציות הולומורפיות הן אנליטיות - כלומר, ניתן לפתח אותן לטור טיילור.

ניסוח פורמלי

יהא $\ U\subset \mathbb {C}$ תחום קושי כך שהשפה $\ \partial U$ היא איחוד סופי של תמונת מסילות סגורות, ותהי $\ f(z):{\bar {U}}\rightarrow \mathbb {C}$ פונקציה רציפה על $\ \partial U$ והולומורפית ב-$\ U$. אז האינטגרל המסילתי $\oint _{\partial U}f(z)\,dz=0$, כאשר האינטגרל על שפת התחום הינו סכום סופי של אינטגרלים על מסילות סגורות שאיחוד תמונותיהן מהווה את השפה.

המשפט נובע מן הגרסה החלשה הבאה שלו: תהי $\ f$ הולומורפית ב- $\ D$ ו- $\ \Delta$ משולש המוכל עם פנימו ב- $\ D$. אז $\ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=0$.

הוכחה

תחילה, נניח $\ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=S>0$. לכן, $\ \oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz=\sum _{k=1}^{4}\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz$, ו-$\ \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|$. לכן $\ S\leq \sum _{k=1}^{4}\left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|$, ויש $\ 1\leq k_{0}\leq 4$ כך ש- $\ \left|\oint _{\partial \Delta _{k}^{(1)}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4}}$.

נסמן $\ \Delta _{k_{0}}^{(1)}=\Delta _{1}$. נמשיך כך ונקבל סדרת משולשים $\ \Delta _{0}\supset \Delta _{1}\supset \Delta _{2}\supset ...\supset \Delta _{n}$, כאשר $\ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}f(z)\,dz\right|\geq {\frac {S}{4^{n}}}$. לפי הלמה של קנטור, $\ \bigcap _{n=0}^{\infty }\Delta _{n}=\left\{z_{0}\right\}$. הנחנו ש-$\ f$ הולומורפית ב- $\ z_{0}$, ולכן $\ f(z)=f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0})$, ו-$\ \lim _{z\rightarrow z_{0}}\varepsilon (z)=0$. נביט באורכי המסילות: $\ l(\Delta _{0})=l\ ,\ l(\Delta _{1})={\frac {l}{2}}\ ,\ ...\ l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}$, כלומר, עבור $\ z\in \partial \Delta _{n}$, $\ \left|z-z_{0}\right|<l(\Delta _{n})={\frac {l}{2^{n}}}$. מכאן ש-$\ {\frac {S}{4^{n}}}\leq \left|\oint _{\partial \Delta }f(z)\,dz\right|=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}{\big [}f(z_{0})+f'(z_{0})(z-z_{0})+\varepsilon (z)(z-z_{0}){\big ]}\,dz\right|=(*)$.

עכשיו נסתכל על שני האיברים הראשונים: $\ \ (zf(z_{0}))'=f(z_{0})\ ,\ \left({\frac {f'(z_{0})(z-z_{0})^{2}}{2}}\right)'=f'(z_{0})(z-z_{0})\$. ניתן לראות שיש להם פונקציה קדומה, שהיא אנליטית בכל $\ \mathbb {C}$, בפרט ב- $\ D$, ולכן האינטגרל שלהם שווה ל-0 לפי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי. לכן גם $\ (*)=\left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|$.

לפי הגדרת האינטגרל, אם $\ \gamma$ מסילה חלקה למקוטעין ו-$\ f$ רציפה על $\ \gamma$, אז $\ \left|\oint _{\gamma }f(z)\,dz\right|\leq M\cdot l(\gamma )$, כאשר $\ M=max\left|f(z)\right|$ על $\ \gamma$ ו- $\ l(\gamma )$ הוא האורך של $\ \gamma$. לכן: $\ \left|\oint _{\partial \Delta _{n}}\varepsilon (z)(z-z_{0})\,dz\right|\leq max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l}{2^{n}}}\cdot l(\Delta _{n})=max\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}$. מכאן נובע: $\ {\frac {S}{4^{n}}}\leq max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot {\frac {l^{2}}{4^{n}}}$, ו-$\ S\leq \ max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}$. אבל $\ \lim _{n\rightarrow \infty }\left(max_{\partial \Delta _{n}}\left|\varepsilon (z)\right|\cdot l^{2}\right)=0$ וזו סתירה להנחה, כלומר $\ S=0$ ולכן $\ \oint _{T}f(z)\,dz=0$.