קבוצת שבת – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יצירת
 
שורה 12: שורה 12:
קבוצה S היא '''קבוצת שבת''' או '''קבוצה סטציונרית''' אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.
קבוצה S היא '''קבוצת שבת''' או '''קבוצה סטציונרית''' אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.
== הערות ==
== הערות ==
הדרישה על הקופינליות של <math>\kappa</math> נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה [[מסנן (תורת הקבוצות)|מסנן]]. כאשר הקופינאליות של <math>\kappa</math> היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק.
הדרישה על הקופינליות של <math>\kappa</math> נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה [[מסנן (תורת הקבוצות)|מסנן]]. כאשר הקופינאליות של <math>\kappa</math> היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק. מהסיבה הזו, החיתוך של קבוצת שבת עם קבוצה סגורה ולא חסומה הוא קבוצת שבת.

לעומת זאת חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega</math> ב-<math>\omega_2</math> וקבוצת כל הסודרים מקופינליות <math>\omega_1</math> ב-<math>\omega_2</math> הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.

למעשה, עבור מונה סדיר <math>\kappa</math>, כל קבוצת שבת S ניתנת לפיצול ל-<math>\kappa</math> קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את [[אקסיומת הבחירה]] ואכן ב[[מודל (מתמטיקה)|מודל]] של [[אקסיומת ההכרעה|AD]], מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב-<math>\omega_1</math> הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצת שבת היא סגורה ולא חסומה).


==ראו גם ==
==ראו גם ==

גרסה מ־19:17, 16 ביולי 2013

בתורת הקבוצות, קבוצת שבת היא קבוצה הנחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

במובנים מסויימים, קבוצות השבת ממלאות תפקיד דומה לקבוצות ממידת לבג חיובית בקטע [0,1], כאשר הקבוצות הסגורות והלא חסומות ממלאות בהקשר הזה את התפקיד של הקבוצות ממידה 1.

הגדרה פורמלית

נניח כי סודר מקופינליות לא בת מנייה (בדרך כלל מניחים כי מונה סדיר).

קבוצה תקרא סגורה, אם לכל

C תקרא לא חסומה אם .

קבוצה S היא קבוצת שבת או קבוצה סטציונרית אם היא נחתכת עם כל קבוצה סגורה ולא חסומה.

הערות

הדרישה על הקופינליות של נועדה להבטיח כי אוסף הקבוצות הסגורות והלא חסומות יהווה מסנן. כאשר הקופינאליות של היא בת מנייה, קל למצוא זוג קבוצות סגורות ולא חסומות שחיתוכן ריק. מהסיבה הזו, החיתוך של קבוצת שבת עם קבוצה סגורה ולא חסומה הוא קבוצת שבת.

לעומת זאת חיתוך של שתי קבוצות שבת יכול להיות ריק - למשל, קבוצת כל הסודרים מקופינליות ב- וקבוצת כל הסודרים מקופינליות ב- הן שתיהן קבוצות שבת וחיתוכן הוא ריק.

למעשה, עבור מונה סדיר , כל קבוצת שבת S ניתנת לפיצול ל- קבוצות שבת זרות. טענה זו דורשת את אקסיומת הבחירה ואכן במודל של AD, מסנן הקבוצות הסגורות והלא חסומות ב- הוא על-מסנן (כלומר, כל קבוצת שבת היא סגורה ולא חסומה).

ראו גם

למת פודור