שדה (מבנה אלגברי)

במתמטיקה, שדה הוא מבנה אלגברי חשוב. הדוגמאות המוכרות ביותר של שדות הם שדה המספרים הרציונליים, שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

היסטוריה

שדה הוא מבנה אלגברי שבו אפשר לבצע את ארבע פעולות החשבון המוכרות. את ההגדרה הכללית של המושג הציע היינריך מרטין ובר ב-1893, בעקבות ריכרד דדקינד שב-1877 קרא "שדה" לקבוצה של מספרים (מרוכבים) הסגורה לארבע הפעולות. ברעיון הבסיסי של הרחבת שדות (נוצרת סופית) השתמש גלואה כבר ב-1831.

הגדרה ודוגמאות

שדה הוא מבנה אלגברי הכולל קבוצה $\ \mathbb {F}$ עם שתי פעולות בינאריות, להן אפשר לקרוא "חיבור" ו"כפל", ושני קבועים (שונים) - 0 ו- 1.

הפעולות מקיימות את התכונות הבאות:

1. הקבוצה $\ \mathbb {F}$ סגורה ביחס לשתי הפעולות.
2. שתי הפעולות חילופיות.
3. שתי הפעולות קיבוציות.
4. מתקיים חוק הפילוג.
5. קיים איבר יחידה ביחס לכפל וחיבור (איבר היחידה החיבורי מכונה 0, ואיבר היחידה הכפלי, 1).
6. קיים לכל האיברים איבר הופכי ביחס לשתי הפעולות, פרט לאיבר ה-0, לו אין הופכי כפלי.

מאקסיומות אלה נובעות כמה תכונות בסיסיות אחרות, כדוגמת יחידות של האברים הנייטרליים (כלומר, התכונה '$\ a+x=a$ לכל a' מייחדת את איבר האפס, וכן לאיבר היחידה), יחידות הנגדי וההפכי והעובדה שמכפלת כל איבר ב-0 שווה ל-0.

לצד החבורה, השדה הוא מן המבנים המרכזיים במתמטיקה. הסיבה לכך היא העושר בדוגמאות, המופיעות בכל תחומי המתמטיקה: ישנם שדות של מספרים כגון שדה המספרים הרציונליים ושדה המספרים הממשיים; שדות אלגבריים הם המצע השכיח לדיון בתורת המספרים האלגברית; לשדות סופיים יש חשיבות מכרעת בכל תחומי הקומבינטוריקה; שדות של פונקציות מופיעים בגאומטריה אלגברית ובאנליזה.

באלגברה שדות תופסים מקום מיוחד. הם קשורים קשר הדוק לפולינומים והשורשים שלהם (וזו הסיבה המקורית לפיתוחה של תורת גלואה). אלגברה לינארית עוסקת בהרחבה במרחב וקטורי מעל שדה. בתורת החוגים שדות מופיעים באופן טבעי, משום שחוג פשוט קומוטטיבי הוא שדה; כל שדה הוא תחום שלמות. יתרה מזו, המרכז של כל חוג פשוט הוא שדה.

השדות המופיעים באנליזה מאופיינים בתכונות נוספות, כגון סדר ושלמות. הדוגמאות היסודיות בתחום זה הן שדה המספרים הממשיים ושדה המספרים המרוכבים.

ישנם כמה שדות שזכו לסימון מיוחד:

• $\mathbb {Q}$ - שדה המספרים הרציונליים.
• $\mathbb {R}$ - שדה המספרים הממשיים.
• $\mathbb {C}$ - שדה המספרים המרוכבים.
• $\mathbb {F} _{q}$ - השדה הסופי מסדר $\ q$ (משתמשים גם בסימון $\ GF(q)$, קיצור ל- Galois Field, על-שם אווריסט גלואה).

תת-שדות

תת-קבוצה של שדה F נקראת תת שדה אם היא שדה בזכות עצמה, כאשר מצמצמים אליה את פעולות החיבור והכפל. במלים אחרות, קבוצה כזו צריכה להכיל את אברי האפס והיחידה של F, ולהיות סגורה לחיבור, לכפל וגם לפעולות של לקיחת הנגדי או ההפכי.

אם P הוא תת-שדה של F, אז F הוא מרחב וקטורי מעל P, ולכן יש לו ממד. כאשר הממד הזה סופי, F מוכרח להיות אלגברי מעל P. במקרה זה, כדי שתת-קבוצה F המכילה את P וסגורה לחיבור וחיסור תהיה תת-שדה, מספיק שהיא סגורה לכפל.

לכל שדה יש תת-שדה ראשוני, שהוא השדה הקטן ביותר המכיל את איבר היחידה. השדה הזה יכול להיות שדה סופי בעל גודל ראשוני, או להכיל את כל המספרים השלמים, שאז הוא בהכרח מכיל את הרציונליים. במקרה הראשון המאפיין של השדה הוא גודל השדה, ובשני אומרים שהמאפיין הוא אפס.

ראו גם

• הרחבת שדות
• תורת גלואה