חבורת קוקסטר – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Legobot (שיחה | תרומות)
מ בוט: מעביר קישורי בינויקי לויקינתונים - d:q7874246
רועי (שיחה | תרומות)
הגדרות פורמליות
שורה 1: שורה 1:
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קוקסטר''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (סופית או אינסופית), בעלת [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על ה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] ב[[מרחב וקטורי]] (שלו מתאימה [[תבנית ריבועית]], המגדירה לעתים קרובות [[מרחב מכפלה פנימית]]), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: [[אלגברת לי|אלגברות לי]], [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]], [[קומבינטוריקה]] ו[[גאומטריה]].
ב[[תורת החבורות]], '''חבורת קוקסטר''' היא [[חבורה (מבנה אלגברי)|חבורה]] (סופית או אינסופית), בעלת [[הצגה על ידי יוצרים ויחסים|הצגה]] פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על ה[[סדר של איבר בחבורה|סדר]] של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי [[שיקוף (מתמטיקה)|שיקופים]] ב[[מרחב וקטורי]] (שלו מתאימה [[תבנית ריבועית]], המגדירה לעתים קרובות [[מרחב מכפלה פנימית]]), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: [[אלגברת לי|אלגברות לי]], [[חבורה אלגברית|חבורות אלגבריות]], [[קומבינטוריקה]] ו[[גאומטריה]].

== הגדרות פורמליות ==
'''מטריצת קוקסטר''' הינה מטריצה סמטרית עם ערכים [[מספר טבעי|טבעיים]] בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1 (כולל אינסוף).

'''חבורת קוקסטר''' <math>W</math> הינה חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית <math>\ S=\{s_1,\dots,s_n\}</math>, בכפוף ליחסים מהצורה <math>\ (s_is_j)^{m_{ij}}=1</math> בלבד, כאשר <math>\ (m_{ij})</math> היא מטריצת קוקסטר, ואם <math>\ m_{ij}=\infty</math> אין יחס מהצורה <math>(s_is_j)^m=1</math>.

הזוג <math>(W,S)</math> נקרא '''מערכת קוקסטר'''.

כדאי לשים לב, שקבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.

=== מסקנות מיידיות מההגדרות ===
במערכת קוקסטר <math>(W,S)</math> עם יוצרים <math>S=\{s_1,\dots,s_n\}</math> ויחסים המוגדרים על ידי מטריצת קוקסטר <math>\ (m_{ij})</math>
* <math>\Leftarrow m_{ii}=1</math> כל היוצרים מסדר 2.
* <math>\Leftarrow m_{ij}=2</math> <math>r_i</math> ו-<math>r_j</math> מתחלפים, הרי <math>r_ir_j=r_i(r_ir_jr_ir_j)r_i = (r_ir_i)r_jr_i(r_jr_i) = r_jr_i</math>.

הגדרת מטריצת קוקסטר כסימטרית חיונית, שכן אם <math>(xy)^m=1</math> אז: <math>(yx)^m=(yx)^myy=y(xy)^my=yy=1</math>.

=== דיאגרמת קוקסטר ===
דיאגרמת קוקסטר הינה דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי [[גרף (תורת הגרפים)| גרף]] בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, <math>s_i</math> ו-<math>s_j</math>, מחוברים בקשת אם <math>m_{ij}\geq 3</math> והקשת מסומנת ב-<math>m_{ij}</math> כאשר <math>m_{ij}\geq 4</math>.

מתקבל מהגדרות אלה ש:
* שני יוצרים מתחלפים אם ורק אם הם לא מחוברים בקשת בגרף.
* אם יש בגרף יותר מרכיב קשירות אחד החבורה הינה מכפלה ישרה של חבורות המשוייכות לרכיבי הקשירות בגרף.


== הקשר לשיקופים ==
== הקשר לשיקופים ==

גרסה מ־23:17, 3 בספטמבר 2013

בתורת החבורות, חבורת קוקסטר היא חבורה (סופית או אינסופית), בעלת הצגה פשוטה במיוחד, הכוללת הנחות רק על הסדר של היוצרים, שהוא 2, ועל הסדר של מכפלות של זוגות של יוצרים. מתברר שחבורות כאלה נוצרות על ידי שיקופים במרחב וקטורי (שלו מתאימה תבנית ריבועית, המגדירה לעתים קרובות מרחב מכפלה פנימית), ובדרך זו הן מתקשרות לתחומים רבים ומרכזיים במתמטיקה: אלגברות לי, חבורות אלגבריות, קומבינטוריקה וגאומטריה.

הגדרות פורמליות

מטריצת קוקסטר הינה מטריצה סמטרית עם ערכים טבעיים בה כל הערכים על האלכסון שווים ל-1 וכל שאר הערכים גדולים מ-1 (כולל אינסוף).

חבורת קוקסטר הינה חבורה הנוצרת על ידי קבוצה סופית , בכפוף ליחסים מהצורה בלבד, כאשר היא מטריצת קוקסטר, ואם אין יחס מהצורה .

הזוג נקרא מערכת קוקסטר.

כדאי לשים לב, שקבוצת היוצרים של חבורה אינה נקבעת באופן ייחודי ולחבורה יכולות להיות מספר מערכות קוקסטר לא שקולות.

מסקנות מיידיות מההגדרות

במערכת קוקסטר עם יוצרים ויחסים המוגדרים על ידי מטריצת קוקסטר

  • כל היוצרים מסדר 2.
  • ו- מתחלפים, הרי .

הגדרת מטריצת קוקסטר כסימטרית חיונית, שכן אם אז: .

דיאגרמת קוקסטר

דיאגרמת קוקסטר הינה דרך נוחה לייצג מערכת קוקסטר על ידי גרף בו הקודקודים הם קבוצת היוצרים; שני קודקודים, ו-, מחוברים בקשת אם והקשת מסומנת ב- כאשר .

מתקבל מהגדרות אלה ש:

  • שני יוצרים מתחלפים אם ורק אם הם לא מחוברים בקשת בגרף.
  • אם יש בגרף יותר מרכיב קשירות אחד החבורה הינה מכפלה ישרה של חבורות המשוייכות לרכיבי הקשירות בגרף.

הקשר לשיקופים

על-פי ההגדרה, חבורת קוקסטר נוצרת על ידי קבוצה סופית של איברים מסדר 2, בכפוף ליחסים מהצורה בלבד. לדוגמה, כאשר מדובר בשני יוצרים, היחסים הם , בדיוק אלו של החבורה הדיהדרלית שסדרה 2m. כדי להבין את המבנה הגאומטרי, נעיר שאם s ו- t הם שיקופים בניצב לזוג ישרים שהזווית ביניהם היא , אז .

היסטוריה

כמושג עצמאי, חבורות קוקסטר נולדו רק בשנות ה-60, כאשר ז'אק טיץ הבחין שההגדרה המופשטת באמצעות יוצרים ויחסים מספיקה כדי לקבל את כל המבנה הגאומטרי השייך בדין לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים. הוא קרא להן על-שם ה.ס.מ. קוקסטר, שעסק בחבורות של שיקופים כשלושים שנה קודם לכן, ומיין את כל החבורות הדיסקרטיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב האוקלידי (מממד כלשהו).

לחבורות הנוצרות על ידי שיקופים יש היסטוריה מתמטית ארוכה. החלוץ בכיוון זה היה פרידננד מביוס, שב-1852 מצא את כל החבורות הסופיות הנוצרות על ידי שיקופים ופועלות על המרחב התלת-ממדי. ב-1890 מיינו קילינג ואלי קרטן את אלגברות לי הפשוטות למחצה, במונחים של מערכות שורשים. ב-1925 הראה אנדרה וייל שחבורת הסימטריות של מערכת שורשים היא חבורה סופית, הנוצרת על ידי שיקופים במרחב שבו השורשים מוגדרים. בכל המקרים האלה מדובר היה בשיקופים במרחב האוקלידי, ביחס לעל-מישורים במובן הרגיל.

טיץ הוכיח שאם S היא קבוצת היוצרים של חבורת קוקסטר, אז לכל מטריצה m של סדרים אפשר להגדיר על המרחב תבנית ריבועית, שביחס אליה החבורה פועלת כחבורת איזומטריות, כאשר היוצרים הם שיקופים (בפרט, לחבורת קוקסטר יש הצגה לינארית נאמנה מממד סופי).

התוצאה המרכזית שהתקבלה בחקר חבורות קוקסטר היא המיון השלם (במונחי דיאגרמות דינקין) של חבורות קוקסטר סופיות, של חבורות קוקסטר אפיניות, ושל חבורות קוקסטר היפרבוליות. במקביל, נלמדו מבנים מתמטיים רבים המוגדרים עבור חבורת קוקסטר נתונה, ובהם אלגברת הקה מתאימה, פולינומי קשדן-לוסטיג וסדר ברוה של החבורה. כל אלה יצרו קשרים הדוקים בין חבורות קוקסטר לתורה של אלגברות לי, לתורה הקומבינטורית והגאומטרית של בניינים, לקומבינטוריקה בכלל, ולתורת החבורות הגאומטרית.


דוגמאות

חבורת התמורות נוצרת על ידי החילופים . קל לראות שהסדר של מכפלת שני חילופים הוא 2 אם הם זרים, ו- 3 אם אינם זרים. בו-בזמן, החבורה פועלת על המרחב האוקלידי בדרך של פעולה על האינדקסים, ובהצגה זו (הקרויה "ההצגה הטבעית" של החבורה הסימטרית) החילופים פועלים כשיקופים. מן ההצגה הזו של החבורה הסימטרית כחבורת קוקסטר אפשר לראות שהיחסים על מכפלות החילופים מגדירים אותה בשלמות. למרבה הבלבול, לדיאגרמת דינקין המתקבלת קוראים, מסיבות היסטוריות, , וכך יש ל"חבורת קוקסטר מטיפוס " תת-חבורה מאינדקס 2 (חבורת התמורות הזוגיות), שאותה מסמנים ב- .

החבורה מטיפוס היא תת-חבורה (מאינדקס ) בחבורת קוקסטר מטיפוס , וזו היא תת-חבורה (מאינדקס 2) של החבורה מטיפוס . את האחרונה אפשר לראות כתת-חבורה של החבורה הסימטרית , הפועלת על המספרים , עם התנאי .

ראו גם