מרחב מכפלה פנימית

באלגברה לינארית, מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב וקטורי, עבורו מוגדרת פעולה בינארית בין כל שתי איברים במרחב, המכונה מכפלה פנימית. בעזרתה של מכפלה זו, ניתן להכליל מושגים של אורך ושל זווית.

הגדרה פורמלית

יהי $\,V$ מרחב וקטורי מעל השדה $\mathbb {F}$, כאשר $\mathbb {F}$ הוא שדה המספרים הממשיים או שדה המספרים המרוכבים. פונקציה $\langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\rightarrow \mathbb {F}$ תיקרא מכפלה פנימית על המרחב אם היא מקיימת את התכונות הבאות:

• אדיטיביות ברכיב הראשון:

$\forall a,b,c\in V:\langle a+b,c\rangle =\langle a,c\rangle +\langle b,c\rangle$

• הומוגניות ברכיב הראשון:

$\forall a,b\in V,\lambda \in \mathbb {F} :\langle \lambda a,b\rangle =\lambda \langle a,b\rangle$

• הרמיטיות (מעל הממשיים - סימטריות):

$\forall x,y\in V,\ \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}$

• חיוביות לחלוטין (אי-שליליות וממשיות):

$\forall x\in V\ \langle x,x\rangle \geq 0$ ושוויון קיים אם ורק אם $\ x=0$

נשים לב לכמה דברים:

• תכונת החיוביות דורשת שמכפלת וקטור בעצמו תהיה ניתנת להשוואה על ידי יחס סדר. על המרוכבים לא מוגדר יחס סדר שכזה, אלא רק על הממשיים, מכאן שעל המכפלה הזו להחזיר תמיד מספר ממשי. תכונת ההרמיטיות מבטיחה זאת:

$\langle x,x\rangle ={\overline {\langle x,x\rangle }}$ פירושו כי $\langle x,x\rangle$ הוא מספר ממשי.

• האדיטיביות ניתנת להכללה באמצעות ההרמיטיות גם לרכיב השני. לעומת זאת ההומוגניות תישמר רק עד כדי צמוד מרוכב - כאשר מוציאים סקלר מהרכיב השני במכפלה הפנימית, יש להצמיד אותו:

$\langle x,\lambda y\rangle ={\overline {\lambda }}\langle x,y\rangle$

• מהאדיטיביות נובע כי תמיד מתקיים: $\langle 0,0\rangle =0$

מרחב וקטורי עם מכפלה פנימית ייקרא מרחב מכפלה פנימית.

שימושים

בעזרת המכפלה הפנימית אפשר, בין היתר, להגדיר את מושג הנורמה המהווה הכללה של האורך מהמרחב האוקלידי: נורמה מוגדרת כגודל $\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}$ (שימו לב שבזכות תכונת החיוביות גודל זה הוא תמיד ממשי).

ניתן גם להכליל את מושג הניצבות: שני וקטורים הם אורתוגונליים אם ורק אם המכפלה הפנימית שלהם שווה 0: $\langle x,y\rangle =0$ ומסמנים $\,x\perp y$. ביתר כלליות, ניתן להגדיר זווית בין וקטורים בצורה הבאה: $\operatorname {angle} (x,y)=\arccos {\frac {\langle x,y\rangle }{\|x\|\cdot \|y\|}}$. ניתן להראות שהארכקוסינוס תמיד מוגדר בעזרת אי-שוויון קושי-שוורץ.

הכללה של מרחב מכפלה פנימית הוא מרחב הילברט. זהו מרחב מכפלה פנימית שהוא גם מרחב טופולוגי שלם ביחס למטריקה המושרית מהמכפלה הפנימית (כלומר: $d(x,y)={\sqrt {\langle x-y,x-y\rangle }}$).

דוגמאות למכפלות פנימיות

• יהי $V=\{{\vec {x}}=(x_{1},\cdots ,x_{n})|x_{i}\in \mathbb {F} \}=\mathbb {F} ^{n}$ מרחב וקטורי.
  • אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {R}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}y_{1}+\cdots +x_{n}y_{n}$ היא מכפלה פנימית.
  • אם $\ \mathbb {F} =\mathbb {C}$ אזי המכפלה הסקלרית הבאה $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle =x_{1}{\overline {y_{1}}}+\cdots +x_{n}{\overline {y_{n}}}$ היא מכפלה פנימית.
• המכפלה הסקלרית הסטנדרטית במרחב האוקלידי $\mathbb {R} ^{3}$ שנתונה על ידי ${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta$ (כאשר $\theta$ היא הזווית בין הווקטורים) היא מכפלה פנימית.
• עבור שתי מטריצות מאותו סדר A ו-B, הגודל $\mathrm {tr} (AB^{t})$ (כלומר העקבה של המכפלה של האחת בשחלוף של השנייה) הוא מכפלה פנימית.
• את המכפלה הסקלרית אפשר לתאר באמצעות כתיב מטריציוני: $\langle {\vec {x}},{\vec {y}}\rangle ={\vec {x}}^{T}I{\vec {y}}$ . אם נחליף את $\ I$ (מטריצת היחידה) במטריצה $\ A$ חיובית לחלוטין נקבל גם כן מכפלה פנימית.
• במרחב כל הפונקציות האינטגרביליות בריבוע במובן לבג בתחום $\,I$, שמסומן $\ L^{2}(I)$, המכפלה הפנימית היא $\langle f,g\rangle =\int _{I}{f(x)\ {\overline {g(x)}}\ dx}$. מכפלה זו הופכת את המרחב למרחב הילברט, לפי משפט ריז-פישר.
• בפיזיקה קוונטית, משתמשים בסימון דיראק (מכונה סימון "ברה-קט") לציון המכפלה הפנימית שפירושה הוא הטלת מצב קוונטי מסוים על מצב אחר. נהוג לקבוע שהיא הומוגנית דווקא ברכיב הימני ולא בשמאלי (בניגוד למוסכמה הנהוגה במתמטיקה): $\ \langle a\phi |b\psi \rangle =a^{*}b\langle \phi |\psi \rangle$. כאשר הכוכבית מסמנת צמוד מרוכב.