מרחב דואלי – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
ייתוּם
שורה 1: שורה 1:
'''המרחב הדואלי''' הוא מבנה טבעי המוגדר על [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F. זהו מרחב הכולל את כל ה[[העתקה לינארית|העתקות הלינאריות]] מ-V לשדה F. העתקה מסוג זה מכונה [[פונקציונל לינארי]]. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].
'''המרחב הדואלי''' של [[מרחב וקטורי]] V מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] F, או הכללה של מרחב כזה, הוא המרחב של כל הפונקציות מן המרחב לשדה הבסיס. למבנה זה יש חשיבות רבה ב[[אלגברה לינארית]] ובפרט ב[[אנליזה פונקציונלית]] ו[[גאומטריה דיפרנציאלית]].


==הגדרת המרחב הדואלי==
== המרחב הדואלי של מרחב וקטורי ==


יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>. '''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' הוא המרחב הווקטורי <math>\ V^* </math> שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\ V \to F</math>, כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]].
=== מעל מרחב וקטורי ===


אם V בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את [[אקסיומת הבחירה]] (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את V כ[[סכום ישר]] של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא [[מכפלה ישרה]] של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.
יהי <math>\ V </math> [[מרחב וקטורי]] מעל השדה <math>\ F</math>.


אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא [[מרחב מכפלה פנימית]], המצב נוח יותר: ההתאמה <math>\ x \mapsto \varphi_x</math> כאשר <math>\ \varphi_x : y \mapsto (x,y)</math> מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).
'''המרחב הדואלי של <math>\ V </math>''' שיסומן ב-<math>\ V^* </math> הוא המרחב הווקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות <math>\ V \to F</math>. איבר ב-<math>\ V^* </math> נקרא [[פונקציונל|פונקציונאל לינארי]]. החיבור והכפל בסקלר מוגדרים בצורה הטריויאלית. כיוון שגם מרחב זה הוא מרחב וקטורי, גם לו יש מרחב דואלי; בין מרחב זה, המסומן ב-<math>\ V^{**} </math> למרחב המקורי יש [[איזומורפיזם]] טבעי (כלומר, שאינו תלוי בסיס) שנקרא [[איזומורפיזם ההצבה]].

לעומת זאת, יש שיכון טבעי <math>\ V \hookrightarrow V^{**}</math> אפילו ללא מכפלה פנימית: הוקטור x מתאים לפונקציונל <math>\ s_x : V^*\rightarrow F</math> המוגדר על-ידי <math>\ s_x(f) = f(x)</math>. גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.


=== מעל מרחב בנך ===
=== מעל מרחב בנך ===

גרסה מ־02:06, 10 בינואר 2014

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי V מעל שדה F, או הכללה של מרחב כזה, הוא המרחב של כל הפונקציות מן המרחב לשדה הבסיס. למבנה זה יש חשיבות רבה באלגברה לינארית ובפרט באנליזה פונקציונלית וגאומטריה דיפרנציאלית.

המרחב הדואלי של מרחב וקטורי

יהי מרחב וקטורי מעל השדה . המרחב הדואלי של הוא המרחב הווקטורי שאיבריו הם הפונקציות הלינאריות , כאשר החיבור והכפל בסקלר מוגדרים נקודתית. איבר ב- נקרא פונקציונאל לינארי.

אם V בעל ממד סופי, אז הוא איזומורפי למרחב הדואלי שלו. אחרת, המרחבים אינם איזומורפיים: אם מניחים את אקסיומת הבחירה (הקובעת שלכל מרחב וקטורי יש בסיס), אז אפשר להציג את V כסכום ישר של עותקים של שדה הבסיס, בעוד שהמרחב הדואלי הוא מכפלה ישרה של אותו מספר של עותקים, ולכן הממד שלו גדול יותר.

אפילו כאשר למרחב יש ממד סופי, האיזומורפיזם למרחב הדואלי אינו טבעי, והוא תלוי בבחירת בסיס. אם V הוא מרחב מכפלה פנימית, המצב נוח יותר: ההתאמה כאשר מהווה שיכון טבעי של V במרחב הדואלי שלו (שהוא איזומורפיזם אם הממד סופי).

לעומת זאת, יש שיכון טבעי אפילו ללא מכפלה פנימית: הוקטור x מתאים לפונקציונל המוגדר על-ידי . גם כאן, אם הממד סופי זהו איזומורפיזם.

מעל מרחב בנך

יהי מרחב בנך מעל שדה סקלרי . אזי פונקציונל הוא פונקציה המתאימה לכל איבר במרחב מספר כלשהו מהשדה .

נהוג לסמן את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים מעל בסימון . זהו מרחב לינארי. בדרך כלל עוסקים רק בפונקציונלים לינאריים ולכן בהרבה טקסטים בנושא המונח "פונקציונל" כולל את דרישת הלינאריות.

מגדירים נורמה של פונקציונל כפי שמגדירים נורמה על כל אופרטור במרחב נורמי, באופן הבא:

אזי תמיד מתקיים ש .

פונקציונל שהנורמה שלו סופית ( ) נקרא "פונקציונל חסום" ואז הוא גם בפרט פונקציונל רציף לפי תנאי ליפשיץ.

את קבוצת כל הפונקציונלים הלינאריים והחסומים על מסמנים ב-. זהו מרחב בנך - הוא לינארי, הוא נורמי, והוא שלם. למרחב קוראים "המרחב הדואלי" של .

למרחב הדואלי יש חשיבות רבה באנליזה פונקציונלית.

הבסיס הדואלי

נניח כי מממד סופי ויהי בסיס עבורו.

נסמן ב- את הפונקציונאל הלינארי המקבל 1 על ו-0 על שאר אברי הבסיס (כמובן שיש פונקציונאל לינארי יחיד כנ"ל).

הקבוצה מהווה בסיס ל- שיקרא הבסיס הדואלי. בסיס זה מקיים את כלל הדלתא של קרונקר - - ואומרים שהוא בי-אורתוגונלי לבסיס הישר.

אם מציגים איבר מ-V ופונקציונאל מ-*V באמצעות בסיסים אלו כוקטורי קואורדינטות, אז הפעלת הפונקציונאל על האיבר היא מכפלה סקלרית.

ההעתקה הדואלית

תהי העתקה לינארית. ההעתקה המוגדרת על ידי תקרא ההעתקה הדואלית של .

אם היא המטריצה המייצגת של ביחס לבסיסים כלשהם של ו- אז המטריצה תייצג את בבסיסים הדואליים המתאימים.

ראו גם