מרחב אפיני – הבדלי גרסאות

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

בשורה

גרסה מ־03:56, 29 בינואר 2014

במתמטיקה, מרחב אפיני הוא גאומטריה עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב אפיני יש ממד, ומרחב מממד 2 נקרא מישור אפיני. המרחב האפיני מכליל כמה מהתכונות של מרחב אוקלידי. במרחב אפיני ניתן להוסיף וקטור לנקודה כדי לקבל נקודה, להפחית נקודה מנקודה כדי לקבל וקטור, אך לא לחבר נקודות. בפרט, כל נקודה יכולה לתפקד באותה מידה כראשית הצירים. הדוגמא הקלאסית למרחב אפיני היא אוסף הנקודות בממרחב וקטורי מעל שדה (או חוג עם חילוק), עם ההזזות של תת-מרחבים חד-ממדיים כישרים.

הגדרה

מנקודת המבט של גאומטריית חילה, מרחב אפיני הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת מרחב לינארי אם דרך כל שתי נקודות דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. יחס שקילות על הישרים של מרחב לינארי נקרא יחס הקבלה אם לכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב לינארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא סגור להקבלה אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא תת-מרחב אפיני אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על-ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.

מרחב אפיני הוא מרחב לינארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על-ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).

מרחב לינארי המקיים את אקסיומת המקבילים (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא מישור אפיני. מרחב לינארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).

הקשר למרחבים פרוייקטיביים

סילוק ישר אחד ממישור פרוייקטיבי מניב מישור אפיני, ולהיפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרוייקטיבי על-ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה. באופן כללי יותר, אם מסירים ממרחב פרוייקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי איזומורפיזם). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרוייקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני ממד.

מורפיזמים

העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב אפיני לקבוצת הנקודות של מרחב לינארי נקראת קולינאציה אם היא מעבירה ישרים לישרים, וקולינאציה שומרת הקבלה אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת תמיד הקבלה. כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים. מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם איזומורפיים. קולינאציה בין מרחבים פרוייקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על-ידי הסרת על-מישור, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרוייקטיביים שהם מגדירים.

קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא הזזה' אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה). קולינאציה שומרת הקבלה היא הומולוגיה אם יש לה נקודת מרכז (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת קולינאציה מרכזית.

ראו גם

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-ב[[מתמטיקה]], '''מרחב אפיני''' הוא [[הכללה (מתמטיקה)|הכללה]] של התכונות ה[[גאומטריה אפינית|אפיניות]] של [[מרחב אוקלידי]]. במרחב אפיני ניתן להוסיף [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ל[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] כדי לקבל נקודה, להפחית נקודה מנקודה כדי לקבל וקטור, אך לא לחבר נקודות. בפרט, אין נקודה שמהווה את [[ראשית הצירים]]. אוסף הפתרונות ל[[מערכת משוואות לינאריות#פתרון של מערכת לא הומוגנית|מערכת משוואות לינאריות לא הומוגנית]] הוא [[קבוצה ריקה|ריק]] או [[תת-מרחב]] אפיני. בפרט, נקודה היא תת-מרחב אפיני מ[[ממד (אלגברה לינארית)|ממד]] אפס.
+ב[[מתמטיקה]], '''מרחב אפיני''' הוא [[גאומטריית חילה|גאומטריה]] עם נקודות וישרים, המקיימת כמה אקסיומות פשוטות. למרחב אפיני יש [[ממד (מתמטיקה)|ממד]], ומרחב מממד 2 נקרא [[מישור אפיני]].  המרחב האפיני מכליל כמה מהתכונות של [[מרחב אוקלידי]]. במרחב אפיני ניתן להוסיף [[וקטור (אלגברה)|וקטור]] ל[[נקודה (גאומטריה)|נקודה]] כדי לקבל נקודה, להפחית נקודה מנקודה כדי לקבל וקטור, אך לא לחבר נקודות. בפרט, כל נקודה יכולה לתפקד באותה מידה כ[[ראשית הצירים]]. הדוגמא הקלאסית למרחב אפיני היא אוסף הנקודות במ[[מרחב וקטורי]] מעל [[שדה (מבנה אלגברי)|שדה]] (או [[חוג עם חילוק]]), עם ההזזות של תת-מרחבים חד-ממדיים כישרים.
-==הגדרה==
+== הגדרה ==
+מנקודת המבט של [[גאומטריית חילה]], מרחב אפיני הוא גאומטריה שיש בה שני טיפוסים, נקודות וישרים, עם יחס חילה ביניהם. מערכת של נקודות וישרים נקראת '''מרחב לינארי''' אם דרך כל שתי נקודות דרך כל שתי נקודות x,y עובר ישר יחיד xy, ויש לפחות שתי נקודות על כל ישר ולפחות שני ישרים. [[יחס שקילות]] על הישרים של מרחב לינארי נקרא '''יחס הקבלה''' אם לכל ישר g ולכל נקודה x, יש ישר יחיד הכולל את x ומתייחס ל-g. במרחב לינארי L עם יחס הקבלה, תת-מרחב U הוא '''סגור להקבלה''' אם לכל ישר g ונקודה ב-U, הישר המקביל ל-g דרך הנקודה מוכל כולו ב-U. תת-מרחב של L נקרא '''תת-מרחב אפיני''' אם הוא סגור להקבלה. החיתוך של תת-מרחבים אפיניים הוא תת-מרחב אפיני, וכך מוגדר תת-המרחב האפיני הנוצר על-ידי קבוצת נקודות S, כחיתוך כל תת-המרחבים האפיניים המכילים אותה.
-'''מרחב אפיני''' הוא [[קבוצה (מתמטיקה)|קבוצה]] <math>A</math> ו[[מרחב וקטורי]] <math>V</math> עם [[פעולת חבורה]] נאמנה ו[[פעולה טרנזיטיבית|טרנזיטיבית]].
+'''מרחב אפיני''' הוא מרחב לינארי שיש עליו יחס הקבלה, כך שכל תת-מרחב אפיני הנוצר על-ידי שלוש נקודות שאינן על ישר אחד, מהווה מישור אפיני. במרחב אפיני שבו יש שלוש נקודות על כל ישר, כל תת-מרחב הוא תת-מרחב אפיני (אבל יש מרחבים אפיניים שבהם שתי נקודות על כל ישר, ושם כל תת-קבוצה של הנקודות מהווה תת-מרחב, וחלק מאלו אינם אפיניים).
+מרחב לינארי המקיים את [[אקסיומת המקבילים]] (דרך כל נקודה שאינה על ישר t, עובר ישר יחיד שאינו נחתך עם t) נקרא '''מישור אפיני'''. מרחב לינארי שכל המישורים בו אפיניים מהווה מרחב אפיני, בתנאי שעל כל ישר יש לפחות ארבע נקודות (משפט Buekenhout).
+== הקשר למרחבים פרוייקטיביים ==
+סילוק ישר אחד ממישור פרוייקטיבי מניב מישור אפיני, ולהיפך, כל מישור אפיני אפשר לשכן במישור פרוייקטיבי על-ידי הוספת ישר אחד (המכונה "הישר באינסוף") והרחבה מתאימה של יחס החילה. באופן כללי יותר, אם מסירים ממרחב פרוייקטיבי את כל הנקודות בעל-מישור, מתקבל מרחב אפיני; וכל מרחב אפיני מתקבל כך, באופן יחיד (עד כדי [[איזומורפיזם]]). ההתאמה בין תת-מרחבים אפיניים לתת-מרחבים פרוייקטיביים מאפשרת להגדיר במרחב האפיני ממד.
+=== מורפיזמים ===
+העתקה חד-חד-ערכית ועל מקבוצת הנקודות של מרחב אפיני לקבוצת הנקודות של מרחב לינארי נקראת '''קולינאציה''' אם היא מעבירה ישרים לישרים, ו'''קולינאציה שומרת הקבלה''' אם ישרים מקבילים עוברים לישרים מקבילים. אם על כל ישר יש לפחות שלוש נקודות, אז קולינאציה שומרת תמיד הקבלה. כל קולינאציה שומרת הקבלה משרה העתקה חד-חד-ערכית ועל בין קבוצות הישרים של המרחבים, ומעבירה תת-מרחבים לתת-מרחבים. כמו כן היא שומרת תת-מרחבים אפיניים, ושומרת על בסיסים וממדים. מרחבים אפיניים שיש ביניהם קולינאציה הם '''איזומורפיים'''. קולינאציה בין מרחבים פרוייקטיביים משרה קולינאציה בין מרחבים אפיניים המתקבלים מהם על-ידי הסרת על-מישור, ולהיפך, קולינאציה בין מרחבים אפיניים משרה קולינאציה בין המרחבים הפרוייקטיביים שהם מגדירים.
+קולינאציה שומרת הקבלה a ממרחב אפיני לעצמו היא '''הזזה''' אם יש מחלקת הקבלה שהישרים שלה נשמרים, ואין ל-a נקודות שבת (גם הזהות נקראת הזזה). קולינאציה שומרת הקבלה היא '''הומולוגיה''' אם יש לה '''נקודת מרכז'' (נקודה שכל ישר העובר דרכה נשמר תחת a). קולינאציה מאחד משני הסוגים האלו נקראת '''קולינאציה מרכזית'''.
+==ראו גם==
+* [[מרחב פרוייקטיבי]]
+* [[גאומטריית חילה]]
-{{קצרמר|מתמטיקה}}
 [[קטגוריה:אלגברה לינארית]]
+[[קטגוריה:גאומטריה אוקלידית]]
+[[en:affine space]]