פונקציה מעריכית

פונקציה מעריכית היא פונקציה מתמטית מהצורה $\ a^{x}$. המספר $\ a$ נקרא בסיס הפונקציה. כאשר מגדירים את הפונקציה כפונקציה ממשית, מגבילים לרוב את בסיס החזקה ודורשים $\ a>0$.

דוגמה:

• אם $\ f(x)=2^{x}$ אז $\ f(4)=16,f(10)=1,024$
• אם $\ f(x)=10^{x}$ אז $\ f(2)=100,f(6)=1,000,000$

גרפים של פונקציות אקספוננציאליות אחדות

המספר e הוא בסיס מיוחד לפונקציה המעריכית. ייחוד זה בא לידי ביטוי, למשל, בכך שנגזרת של פונקציה מעריכית ש-e הוא בסיסה זהה לפונקציה עצמה. פונקציה מעריכית שבסיסה הוא e נקראת אקספוננט.

הפונקציה ההופכית לפונקציה המעריכית היא פונקציית הלוגריתם.

כפונקציה ממשית, פונקציה מעריכית היא פונקציה עולה אם בסיסה גדול מ-1. אם הוא 1 היא הפונקציה הקבועה 1, ואם הוא קטן מ-1 וגדול מ-0 היא יורדת. בפונקציות מעריכיות ממשיות, מגבילים את בסיס הפונקציה המעריכית למספרים חיוביים בלבד, מכיוון שבבסיס שלילי, הפונקציה לא תהיה מוגדרת עבור מספרים מסוימים (0.5 וכדומה).

פונקציה מעריכית ממשית גדלה מהר יותר מכל פולינום ($\ n^{c}=o(a^{n})$, לכל $\ c$ ולכל $\ a>1$), אבל לאט יותר מכל חזקה חיובית של פונקציית העצרת ($\ a^{n}=o(n!^{\epsilon })$).

הגדרת הפונקציה המעריכית

במסגרת החשבון האינפיניטסימלי, הדרך הקלה והמהירה ביותר להגדיר את הפונקציה המעריכית, היא באמצעות האקספוננט ( $\ e^{x}$ ) והלוגריתם הטבעי, כאשר את הפונקציה $\ e^{x}$, ואת הקבוע e מגדירים באמצעות טור חזקות: $\ e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}$. מבחני ההתכנסות הסטנדרטיים מראים שהטור מתכנס לכל ערך ממשי x, ולכן ניתן להגדיר באופן טבעי $\ e=e^{1}$.

את הפונקציה הכללית $\ a^{x}$ מגדירים:

$\ a^{x}=e^{x\cdot \ln a}$

ניתן להגדיר באופן כללי את הפונקציה המעריכית באמצעות פיתוח חוקי החזקות של חתכי דדקינד מתוך פעולת החזקה של המספרים הרציונליים, בלי תלות בפונקציית האקספוננט.

תכונות הפונקציה המעריכית

כל תכונות הפונקציה המעריכית נובעות מתכונות האקספוננט. כך, הפונקציה המעריכית היא פונקציה רציפה וגזירה. הפונקציה המעריכית הפיכה כאשר בסיסה שונה מאחד, כלומר $a\neq 1$ (כלומר כאשר $\ \ln(a)\neq 0$ ). הפונקציות המעריכיות מעבירות חיבור לכפל, וכפל לחזקה כלומר מתקיימות התכונות:

$\ a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}$

$\ (a^{x})^{y}=a^{x\cdot y}$

למעשה, קל לראות שאם פונקציה כלשהי מעבירה כפל לחזקה (מקיימת את התכונה השנייה), אז היא בהכרח פונקציה מעריכית. לעומת זאת פונקציה שמעבירה חיבור לכפל (מקיימת את התכונה הראשונה) איננה בהכרח פונקציה מעריכית, אם היא לא רציפה.

דוגמאות

• קצב הילודה - אם לכל אדם נולדים שני ילדים (4 ילדים לזוג), אז גידול האוכלוסייה הוא אקספוננציאלי בבסיס 2.
• פריקת וטעינת קבל דרך נגד מבוטאת על ידי הקשר $\ I={I_{0}}e^{\frac {-t}{RC}}$.
• דעיכה רדיואקטיבית - בחומר רדיואקטיבי, כמות האיזוטופ הרדיואקטיבי מבצעת דעיכה מעריכית

$N_{t}=N_{0}\left({\frac {1}{2}}\right)^{t/t_{1/2}}$

$N_{t}=N_{0}e^{-t/\tau }\,$

$N_{t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,$

כש-$N_{0}$ היא הכמות המקורית, $N_{t}$ היא הכמות שנשארת אחרי זמן $t_{1/2}$, $t$ הוא חצי אורך החיים של החומר, $\tau$ הוא אורח החיים הממוצע של החומר ו-λ הוא קבוע הדעיכה. שלושת הפרמטרים $t_{1/2}$, $\tau$,ו-λ קשורים על ידי המשוואות

$t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2)$

כש-(ln(2 הוא הלוגריתם של 2 (בערך 0.693)

• בהסתברות: התפלגות מעריכית.
• בפיזיקה: התפלגות בולצמן.
• בתחומי ההונאה היצירתית: מזימת פירמידה.

ראו גם

• אקספוננט
• נגזרות של פונקציות מעריכיות
• משוואה מעריכית