מטריצה אורתוגונלית – הבדלי גרסאות

מתוך ויקיפדיה, האנציקלופדיה החופשית
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
שכחו לציין כי הערכים במטריצה ממשיים.
ניסוח
שורה 1: שורה 1:
ב[[אלגברה לינארית]], '''מטריצה אורתוגונלית''' היא [[מטריצה ריבועית]] בעלת ערכים ממשיים המקיימת את התנאי <math>\ A^t A = A A^t = I</math>, כאשר <math>\ I</math> היא [[מטריצת היחידה]], ו- <math>\ A^t</math> היא ה[[מטריצה משוחלפת|מטריצה המשוחלפת]] של <math>\ A</math>. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.
ב[[אלגברה לינארית]], '''מטריצה אורתוגונלית''' היא [[מטריצה ריבועית]] מעל R המקיימת את התנאי <math>\ A^t A = A A^t = I</math>, כאשר <math>\ I</math> היא [[מטריצת היחידה]], ו- <math>\ A^t</math> היא ה[[מטריצה משוחלפת|מטריצה המשוחלפת]] של <math>\ A</math>. לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.


העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.
העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות [[בסיס (אלגברה לינארית)|בסיס]] [[אורתונורמליות|אורתונורמלי]] למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם [[מכפלה פנימית|המכפלה הפנימית]] הסטנדרטית.

גרסה מ־14:27, 11 באוגוסט 2014

באלגברה לינארית, מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה ריבועית מעל R המקיימת את התנאי , כאשר היא מטריצת היחידה, ו- היא המטריצה המשוחלפת של . לכפל במטריצה כזו יש תכונה חשובה: הוא שומר על אורך של וקטורים, וגם על הזווית ביניהם.

העמודות של מטריצה אורתוגונלית מהוות בסיס אורתונורמלי למרחב הווקטורי שממדו כמספר עמודות המטריצה, עם המכפלה הפנימית הסטנדרטית.

חבורת המטריצות האורתוגונליות

אוסף המטריצות האורתוגונליות בגודל מעל שדה F סגור לכפל, והוא מהווה חבורה אלגברית שמקובל לסמן ב- . מעל שדה המספרים הממשיים, היא חבורה קומפקטית.

הדטרמיננטה של מטריצה אורתוגונלית היא או . המטריצות האורתוגונליות בעלות דטרמיננטה 1 נקראות "מטריצות אורתוגונליות מיוחדות", והן מרכיבות את תת-החבורה של . בשדה ממאפיין שונה מ-2, היא תת-חבורה מאינדקס 2 (מעל שדה ממאפיין 2, שתי החבורות שוות). המטריצות הסקלריות האורתוגונליות הן , ומגדירים את חבורות המנה ו- .

המטריצה שייכת ל- אם ורק אם n זוגי. לכן, כאשר n זוגי, ארבע החבורות שונות זו מזו, ואילו כאשר n איזוגי, ו- .

המקרה n=2

מעל שדה המספרים הממשיים, כוללת את מטריצות הסיבוב בכל זווית אפשרית. חבורה זו, שהיא אבלית, איזומורפית לחבורה המעגלית של המספרים המרוכבים בעלי נורמה 1, וגם לחבורת המנה . ליפוף כפול של המעגל (כלומר, זיהוי הקצוות ) נותן את אותה חבורה, ולכן . החבורה כוללת איבר נוסף, , המתאים לשיקוף סביב ציר ה-x, ואת כל המכפלות של בסיבובים. החבורה הזו אינה אבלית. גם כאן .

מטריצות אוניטריות

מטריצה אורתוגונלית היא מטריצה אוניטרית מעל הממשיים. מטריצה אוניטרית מקיימת: כאשר ותכונה הנובעת מזה היא שעמודותיה ושורותיה פורשות את . הערה:

תכונות של מטריצות אוניטריות

  • מטריצה הפיכה ו-
  • מטריצה אוניטרית שומרת מכפלה פנימית: (כאן נעזרנו בתכונות הצמוד ההרמיטי במכפלה פנימית)
  • מטריצה אוניטרית שומרת על נורמה, . כתוצאה מכך, ערך מוחלט של כל ערך עצמי שלה הוא 1.
  • אם A אוניטרית ו- גם הן אוניטריות

ראו גם

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום לוויקיפדיה ולהרחיב אותו.