תבנית קילינג

באלגברה מופשטת, תבנית קילינג היא תבנית בילינארית הקשורה לאלגברת לי נתונה. תפקידה המרכזי הוא במתן תנאי הכרחי ומספיק להיותה של אלגברת לי פשוטה למחצה.

הגדרה פורמלית

תהי L אלגברת לי נתונה מעל שדה F. תבנית קילינג של L היא התבנית $k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))$, כאשר ad הוא הייצוג הצמוד (adjoint representation) ו-Tr הינה העקבה.

תכונות בסיסיות

• תבנית קילינג היא סימטרית.

• תבנית קילינג אסוציאטיבית, במובן ש-$k([x,y],z)=k(x,[y,z])$.

• ה רדיקל $Rad(k)$ של תבנית קילינג הוא אידאל.

• התבנית נשמרת על ידי אוטומורפיזמים של L, כלומר $k(g(x),g(y))=k(x,y)$ לכל אוטומורפיזם g של L.

הקשר לאלגברות לי פשוטות למחצה

תבנית קילינג מהווה תנאי הכרחי ומספיק להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה:

משפט: תהי אלגברת לי L מעל שדה סגור אלגברית ובעל מאפיין אפס. אז L היא פשוטה למחצה אם ורק אם תבנית קילינג שלה רגולרית.

הוכחה: נניח שL פשוטה למחצה. נוכיח כי $Rad(k)$ אידאל פתיר, ולכן אפס. יהיו $x\in Rad(k),y\in L$, מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle Tr(ad(x)ad(y))=0} . זה נכון בפרט ל-$y\in [Rad(k),Rad(k)]\subseteq L$, ולכן לפי קריטריון קרטן $Rad(k)$ פתיר.

בכיוון ההפוך, נניח ש-k רגולרית, כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle Rad(k)=0} . תנאי מספיק (ובעצם שקול) להיותה של L פשוטה למחצה הוא שכל אידאל אבלי (אידאל I המקיים $[I,I]=0$) הוא אפס (אכן, אם L לא פשוטה למחצה, אז הרדיקל שלה הוא פתיר ולא אפס, ואפשר לבחור את החזקה אחת לפני האחרונה בסדרת הנגזרת שלו שיהיה אבלי ולא אפס).

אם כן יהי I אידאל אבלי, נוכיח שהוא אפס. יהיו $x\in I,y\in L$, נביט במיפוי $ad(x)ad(y):L\rightarrow I$. אזי המיפוי בריבוע הוא ${(ad(x)ad(y))}^{2}:L\rightarrow [I,I]=0$, לכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "http://localhost:6011/he.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle ad(x)ad(y)} איבר נילפוטנטי, ולכן $k(x,y)=Tr(ad(x)ad(y))=0$. כלומר $I\subseteq Rad(k)=0$, ולכן הוא אפס.

דוגמא

כאמור תבנית קילינג מהווה קריטריון להיות של אלגברת לי פשוטה למחצה. בעזרתה אפשר להוכיח כי האלגברה $sl(2,F)=\{{\begin{pmatrix}a&b\\c&-a\end{pmatrix}}:a,b,c\in F\}$ פשוטה למחצה.

אכן, חישוב ישיר של המטריצה המייצגת את התבנית לפי הבסיס $\{{\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}\}$ מביא למטריצה ${\begin{pmatrix}0&0&4\\0&8&0\\4&0&0\end{pmatrix}}$ שהיא מטריצה הפיכה.

זוהי למעשה דוגמא לאלגברת לי פשוטה למחצה מממד 3, הנמוך ביותר האפשרי (כל אלגברת לי ממד 1 או 2 אינה פשוטה למחצה).