מחלקה מונוטונית

מחלקה מונוטונית היא משפחה של קבוצות המקיימת תכונות סגירות מסוימות.

משפט המחלקה המונוטונית קובע קשר בין מחלקה מונוטונית לבין סיגמא-אלגברה, וקשר זה מאפשר להוכיח תכונות רבות בתורת המידה ובתורת ההסתברות, כדוגמת משפט פוביני.

הגדרה

תהי $X$ קבוצה. משפחה של תתי-קבוצות ${\mathcal {M}}\subset {\mathcal {P}}(X)$ נקראת מחלקה מונוטונית, אם היא מקיימת את שתי התכונות הבאות:

1. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\subset E_{2}\subset E_{3}\subset ...$, מתקיים כי $\bigcup _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.
2. לכל סדרה $\left\{E_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {M}}$ המקיימת $E_{1}\supset E_{2}\supset E_{3}\supset ...$, מתקיים כי $\bigcap _{i=1}^{\infty }E_{i}\in {\mathcal {M}}$.

משפט המחלקה המונוטונית

תהי $X$ קבוצה ותהי $P\subset {\mathcal {P}}(X)$ משפחה כלשהי של תתי-קבוצות.

נסמן את המחלקה המונוטונית הנוצרת על ידי $P$ להיות ${\mathcal {C}}(P)$, ונסמן את הסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי $P$ להיות $\sigma (P)$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {C}}(P)$ היא חיתוך כל המחלקות המונוטוניות המכילות את $P$ וכי $\sigma (P)$ היא חיתוך כל הסיגמא-אלגבראות המכילות את $P$.

משפט: תהי ${\mathcal {A}}$ אלגברה של קבוצות על קבוצה $X$ (כלומר ${\mathcal {A}}$ משפחה הסגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים). אזי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})=\sigma ({\mathcal {A}})$.

הוכחה

ברור שכל סיגמא-אלגברה היא מחלקה מונוטונית, ולכן ודאי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset \sigma ({\mathcal {A}})$. כדי להראות את ההכלה ההפוכה די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ מהווה סיגמא-אלגברה בעצמה.

לא קשה לראות שאם מחלקה מונוטונית היא אלגברה, אז היא גם סיגמא-אלגברה, ולכן די להראות כי ${\mathcal {C}}(A)$ היא אלגברה. אם כך נראה כי היא סגורה ללקיחת משלים ולאיחודים סופיים.

תהי $E\in {\mathcal {C}}(A)$. נגדיר ${\mathcal {R}}(E)=\left\{F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})|F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\right\}$. לא קשה לראות כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית וכן כי $\emptyset ,E\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. כמו כן ניתן לראות כי לכל $E_{1},E_{2}\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $E_{1}\in {\mathcal {R}}(E_{2})\iff E_{2}\in {\mathcal {R}}(E_{2})$.

לכל $E\in {\mathcal {A}}$, לכל $B\in {\mathcal {A}}$ מתקיים כי $B\in {\mathcal {R}}(E)$ מהיות ${\mathcal {A}}$ אלגברה. לכן נובע כי ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {R}}(E)$. נזכור כי ${\mathcal {R}}(E)$ מהווה מחלקה מונוטונית, ולכן נסיק כי ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים $F\in {\mathcal {R}}(E)$, ובאופן שקול $E\in {\mathcal {R}}(F)$, ולכן נובע כי גם ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(F)$ לכל $F\in {\mathcal {R}}(E)$.

אם כך לכל $E,F\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מתקיים ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {R}}(E),{\mathcal {R}}(F)$, כלומר $F\cap E,F\cap E^{\complement },F^{\complement }\cap E\in {\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$, ולכן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ סגורה למשלים.

לסיום, קל לראות שמחלקה מונוטונית הסגורה למשלים סגורה גם לאיחודים סופיים, ועל כן ${\mathcal {C}}({\mathcal {A}})$ מהווה אלגברה.

משפט המחלקה המונוטונית לפונקציות

משפט: תהי ${\mathcal {A}}$ π-מערכת המכילה קבוצה $\omega$, ותהי ${\mathcal {H}}$ משפחה של פונקציות $\omega \to \mathbb {R}$, המקיימת את שלוש התכונות הבאות:

1. לכל $A\in {\mathcal {A}}$ מתקיים $1_{A}\in {\mathcal {H}}$.
2. אם $f,g\in {\mathcal {H}}$ אז $f+g\in {\mathcal {H}}$ וכן $cf\in {\mathcal {H}}$ לכל $c\in \mathbb {R}$.
3. לכל סדרה מונוטונית עולה של פונקציות אי-שליליות $\left\{f_{i}\right\}_{i=1}^{\infty }\subset {\mathcal {H}}$ המתכנסת לפונקציה גבולית $f$, מתקיים $f\in {\mathcal {H}}$.

אזי ${\mathcal {H}}$ מכילה את כל הפונקציות החסומות והמדידות ביחס לסיגמא-אלגברה הנוצרת על ידי ${\mathcal {A}}$.

הוכחה

הוכחה זו מבוססת על משפט π−λ.

ההנחה כי $\omega \in {\mathcal {A}}$ יחד עם תכונות 2,3 גוררת כי המשפחה ${\mathcal {G}}=\left\{A|1_{A}\in {\mathcal {H}}\right\}$ מהווה λ-מערכת.

מתכונה 1 וממשפט π−λ נובע כי $\sigma ({\mathcal {A}}\subset {\mathcal {G}}$.

תכונה 2 מראה כי ${\mathcal {H}}$ מכילה את כל הפונקציות הפשוטות, ומתכונה 3 נובע כי היא מכילה את כל הפונקציות המדידות והחסומות, שכן כל פונקציה מדידה וחסומה היא גבול של פונקציות פשוטות.