משפט פוביני

משפט פוביני (נקרא לעתים: משפט פוביני־טונלי) מספק נוסחה לחישוב של אינטגרל רב-ממדי של פונקציות, תחת תנאים מסוימים. את המשפט הוכיח גואידו פוביני בשנת 1907 עבור פונקציות אינטגרביליות, והוא הוכח גם בידי לאונידה טונלי בשנת 1909 עבור פונקציות אי-שליליות.

הגרסה הנפוצה של המשפט עוסקת באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות רימן מהצורה $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$, אולם גרסה זו היא מקרה פרטי של משפט כללי יותר העוסק באינטגרציה של פונקציות אינטגרביליות לבג מהצורה $f:X\times Y\to \mathbb {C}$, כאשר $X,Y$ מרחבי מידה.

נוסח פורמלי

לפונקציות ממשיות אינטגרביליות רימן

תהי $f:A\times B\to \mathbb {R}$ פונקציה אינטגרבילית רימן, כאשר $A,B\subset \mathbb {R}$ קבוצות סגורות.

לכל $x\in A$ נגדיר פונקציה $f_{x}:B\to \mathbb {R}$ על ידי $f_{x}(y)=f(x,y)$ (פונקציה של המשתנה השני).

אזי $f_{x}$ אינטגרביליות רימן, ומתקיים השוויון:

$\int _{A\times B}f(x,y)d(x,y)=\int _{A}\left(\int _{B}f_{x}(y)dy\right)dx$

באופן סימטרי, לכל $y\in B$ ניתן להגדיר פונקציה $f^{y}:A\to \mathbb {R}$ מתאימה, גם היא אינטגרבילית רימן, ומתקיים השוויון:

$\int _{A\times B}f(x,y)d(x,y)=\int _{B}\left(\int _{A}f_{y}(x)dx\right)dy$

לפונקציות כלליות אינטגרביליות לבג

יהיו $\left(X,{\mathcal {M}},\mu \right),\left(Y,{\mathcal {N}},\nu \right)$ זוג מרחבי מידה סיגמא־סופיים.

תהי $f:X\times Y\to \mathbb {C}$ פונקציה אינטגרבילית לבג ביחס למרחב המכפלה $\left(X\times Y,{\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}},\mu \times \nu \right)$.

נגדיר פונקציה $f_{x}:Y\to \mathbb {C}$ על ידי $f_{x}(y)=f(x,y)$.

אזי $f_{x}$ אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:

$\int _{X\times Y}fd\left(\mu \times \nu \right)=\int _{X}\left(\int _{Y}f_{x}d\nu \right)d\mu$

באופן סימטרי ניתן גם להגדיר פונקציה $f^{y}$ מתאימה, גם היא אינטגרבילית לבג, ומתקיים השוויון:

$\int _{X\times Y}fd\left(\mu \times \nu \right)=\int _{Y}\left(\int _{X}f_{y}d\mu \right)d\nu$

הכרחיות התנאים

המשפט מתייחס לפונקציות אינטגרביליות לבג בלבד, וכן נוספה הדרישה כי המרחבים יהיו סיגמא-סופיים. להלן דוגמאות המבהירות מדוע דרישות אלו הכרחיות.

כישלון משפט פוביני עבור פונקציות לא אינטגרביליות

נתבונן במרחב המידה $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ עם הסיגמא-אלגברה $2^{\mathbb {N} }\otimes 2^{\mathbb {N} }$ ביחס למידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). נתבונן בפונקציה:

$f(n,m)={\begin{cases}1&m=n\\-1&m=n+1\\0&{\text{ otherwise}}\end{cases}}$

פונקציה זו אינה איטגרבילית, שכן ביחס לעותק הראשון של המרחב האינטגרל הוא $\infty$, וביחס לעותק השני של המרחב האינטגרל הוא $-\infty$. כמו כן, לא קשה לראות שאינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון היא סכימה של $(1-1)+(1-1)+...$ ולכן האינטגרל הוא אפס, ולעומת זאת אינטגרציה תחילה לפי העותק השני היא סכימה של $1+(1-1)+(1-1)+...$, ולכן האינטגרל הוא אחד. כלומר סדר האינטגרציה משנה את ערך האינטגרל.

דוגמה נוספת היא הפונקציה:

${\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}=-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x\partial y}}\arctan(y/x)$

המוגדרת על ריבוע היחידה $[0,1]\times [0,1]$. פונקציה זו אינה אינטגרבילית ומקיימת:

$\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\left|{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\right|\,{\text{d}}y\,{\text{d}}x=\infty$

לא קשה לראות כי סדר החישוב משנה את ערך האינטגרל, שכן מצד אחד:

$\int _{x=0}^{1}\left(\int _{y=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}y\right)\,{\text{d}}x={\frac {\pi }{4}}$

ומצד שני:

$\int _{y=0}^{1}\left(\int _{x=0}^{1}{\frac {x^{2}-y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\,{\text{d}}x\right)\,{\text{d}}y=-{\frac {\pi }{4}}$

כישלון משפט פוביני עבור מרחבים לא סיגמא-סופיים

נתבונן במרחב המידה $[0,1]\times [0,1]$, כאשר העותק הראשון מצויד בסיגמא־אלגברת בורל ומידת לבג והעותק השני מצויד בסיגמא־אלגברה $2^{\mathbb {N} }$ ומידת המניה (כלומר המידה של קבוצת מספרים היא העוצמה שלה). ברור שהעותק השני אינו מרחב סיגמא־סופי.

לא קשה לראות שבמרחב זה, קבוצת האלכסון $\{(x,x)|x\in [0,1]\}$ היא בעלת מידה אפס אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק הראשון, ולעומת זאת היא בעלת מידה 1 אם מבצעים אינטגרציה תחילה לפי העותק השני.

הוכחה

לאורך כל ההוכחה נוכיח עבור "צד אחד" של השוויון במשפט, כלומר כאשר מתחילים לבצע אינטגרציה במשתנה הראשון ואז בשני, וההוכחה לסדר ההפוך סימטרית.

ההוכחה הנפוצה למשפט עושה שימוש במשפט המחלקה המונוטונית. מבנה ההוכחה הוא כדלהלן: (1) תחילה מוכיחים את המשפט עבור פונקציות מדידות מסוג מסוים במרחבי מידה סופיים, (2) מכלילים את המשפט למרחבים סיגמא-סופיים, (3) מכלילים את המשפט לפונקציות מדידות כלליות.

• נניח כי שני המרחבים הם מרחבי מידה סופיים. בהינתן קבוצה $E\in {\mathcal {M}}\times {\mathcal {N}}$, לכל $y\in Y$ נגדיר $E^{y}=\left\{x\in X|(x,y)\in E\right\}$. נגדיר פונקציה $f:Y\to [0,\infty )$ על ידי $f(y)=\mu (E^{y})$. תהי ${\mathcal {A}}$ האלגברה הנוצרת על ידי הקבוצות $A\times B$ עבור $A\in {\mathcal {M}},B\in {\mathcal {N}}$, ותהי ${\mathcal {C}}$ אוסף כל הקבוצות המדידות שעבורן מתקיים המשפט. נראה כי ${\mathcal {C}}$ היא מחלקה מונוטונית וכי ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {C}}$, וממשפט המחלקה המונוטונית נוכל להסיק כי ${\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}}=\sigma ({\mathcal {A}})\subset {\mathcal {C}}$, כנדרש.

בהינתן $A\times B\in {\mathcal {A}}$, מתקיים כי $f(y)=\mu (E^{y})=1_{B}(y)\cdot \mu (A)$ ולכן ניתן להסיק מיד כי $f$ פונקציה מדידה. אם כך נובע כי:

$\int _{Y}f(y)d\nu =\int _{Y}1_{B}(y)\mu (A)d\nu =\mu (A)\nu (B)=\mu \times \nu (A\times B)$

כאשר השוויון האחרון הוא מהגדרת מידת המכפלה. מכאן כי ${\mathcal {A}}\subset {\mathcal {C}}$.
כדי להראות כי ${\mathcal {C}}$ היא מחלקה מונוטונית יש להראות סגירות לאיחוד שרשראות עולות וחיתוך שרשראות יורדות, אך זה לא קשה להסיק תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית.

כעת נניח כי שני המרחבים הם סיגמא-סופיים. נציג $X=\bigcup _{i=1}^{\infty }X_{i},Y=\bigcup _{i=1}^{\infty }Y_{i}$ כאשר מידות הקבוצות באיחוד סופיות כולן, ונניח ללא הגבלת הכלליות כי אלו איחודים של שרשראות עולות. בהינתן $E$ מדידה, בהמשך לסימונים הקודמים ניתן להסיק מהמקרה הסופי כי מתקיים $\mu \times \nu (E\cap (X_{i}\times Y_{i}))=\int \nu (E^{y}\cap X_{i})\cdot 1_{Y_{i}}d\nu$, ולכן תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית נובע שבגבול כאשר $i\to \infty$ מתקיים $\mu \times \nu (E)=\int _{Y}\mu (E^{y})d\nu$.

כעת נראה את המקרה הכללי של המשפט. תהי $f:X\times Y\to \mathbb {C}$ פונקציה אינטגרבילית במרחב המכפלה. נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f$ פונקציה ממשית ואי-שלילית (כי כל פונקציה ממשית היא הפרש של זוג פונקציות חיוביות, וכל פונקציה מרוכבת היא סכום של שתי פונקציות ממשיות). נדון תחילה בפונקציות מציינות מהצורה $f=1_{E}$ עבור קבוצה מדידה $E\in {\mathcal {M}}\otimes {\mathcal {N}}$, אז כפי שנובע מהחלק הקודם של ההוכחה מתקיים כי:

$\int _{X\times Y}1_{E}d(\mu \times \nu )=\mu \times \nu (E)=\int _{Y}\nu (E^{y})d\nu =\int _{Y}\left(\int _{X}\mu (E^{y})d\nu \right)=\int _{Y}\left(\int _{X}f^{y}d\nu \right)$

פונקציות פשוטות הן צירוף לינארי של פונקציות מציינות, ולכן המשפט נובע גם לגביהן מידית מלינאריות אינטגרל לבג. כעת, תוך שימוש במשפט ההתכנסות המונוטונית ובעובדה שכל פונקציה מדידה היא גבול של סדרה מונוטונית של פונקציות פשוטות, קל להסיק את הטענה לכל פונקציה מדידה.