הומומורפיזם – הבדלי גרסאות
Matanyabot (שיחה | תרומות) מ בוט: החלפת טקסט אוטומטית (-{{נ}} +) |
מ הסבת תבנית:עוגן2* |
||
שורה 18: | שורה 18: | ||
בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים. |
בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים. |
||
* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''[[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]]''' או {{ |
* הומומורפיזם [[חד-חד ערכית|חד-חד ערכי]] נקרא '''[[שיכון (מתמטיקה)|שיכון]]''' או {{עוגן|מונומורפיזם|'''[[מונומורפיזם]]'''}}. |
||
* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] הוא {{ |
* הומומורפיזם [[התאמה על|על]] הוא {{עוגן|אפימורפיזם|'''[[אפימורפיזם]]'''}}. |
||
* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא {{ |
* הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא {{עוגן|איזומורפיזם|'''[[איזומורפיזם]]'''}}. |
||
* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא {{ |
* הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא {{עוגן|אנדומורפיזם|'''[[אנדומורפיזם]]'''}}. (אנדו = פנימי) |
||
* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא {{ |
* איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא {{עוגן|אוטומורפיזם|'''[[אוטומורפיזם]]'''}}. (אוטו = עצמי) |
||
{{אלגברה מופשטת}} |
{{אלגברה מופשטת}} |
גרסה מ־22:25, 5 במאי 2015
באלגברה, הומומורפיזם הוא פונקציה בין מבנים אלגבריים מאותו טיפוס, המשמר את כל המבנה (לרבות הפעולות, היחסים והקבועים). הומומורפיזם מתרגם תכונות מסוימות של המבנה הראשון אל המבנה השני. הומומורפיזם הפיך נקרא איזומורפיזם.
דוגמאות
- הומומורפיזם בין חבורות הוא פונקציה שעבורה לכל . הכפל באגף שמאל הוא פעולת החבורה של , ואילו הכפל באגף ימין הוא פעולת החבורה של . מתכונה זו נובע גם שאיבר היחידה של G עובר לאיבר היחידה של H, ולכן אין צורך לדרוש תכונה זו במפורש.
- הומומורפיזם בין מרחבים לינאריים נקרא העתקה לינארית. זוהי פונקציה מן הווקטורים של מרחב V מעל שדה F, אל הווקטורים של מרחב W מעל אותו שדה, המקיימת שתי אקסיומות: (לכל שני וקטורים ) ו- (לכל וקטור וסקלר ). אותן דרישות, בהחלפת השדה F בחוג כלשהו R, מגדירות הומומורפיזם בין מודולים. גם כאן, אין צורך לדרוש במפורש שהפונקציה מעבירה את איבר האפס של המרחב הראשון אל איבר האפס של השני, משום שזה נובע מן הדרישות האחרות.
- הומומורפיזם בין חוגים הוא פונקציה (כאשר הם חוגים עם יחידה), השומרת על החיבור והכפל, ומעבירה את איבר היחידה של R לאיבר היחידה של S. תכונה אחרונה זו אינה נדרשת מהומומורפיזם של חוגים בלי יחידה, וקיימים הומומורפיזמים כאלה (שאינם שומרים על איבר היחידה) גם בין חוגים עם יחידה. אם ל- R ו- S יש איבר יחידה, ו- S הוא תחום שלמות, או ש- f היא על, אז כל פונקציה השומרת על החיבור והכפל, מעבירה את איבר היחידה לאיבר היחידה.
הגרעין והתמונה
נניח ש- הומומורפיזם בין מבנים אלגבריים. התמונה היא אוסף האברים של B המתקבלים מהפעלת ההומומורפיזם על אברי A. אם יש למבנה איבר נייטרלי מובחן (איבר היחידה של חבורה, האפס של חוג, מרחב וקטורי, או מודול), אוסף הווקטורים של A העוברים אל האיבר הנייטרלי נקרא הגרעין של ההומומורפיזם. לתמונה ולגרעין יש הגדרות כלליות יותר, בשפה של תורת הקטגוריות.
בחבורות, לדוגמה, התמונה היא תת-חבורה של B, ואילו הגרעין הוא תת-חבורה נורמלית של A.
קיומו של הגרעין מאפשר לבנות אובייקט מנה (חבורת מנה, חוג מנה, מודול מנה), ואז מתקיים משפט האיזומורפיזם הראשון: .
הומומורפיזם מיוחדים
בגלל חשיבותם של הומומורפיזם באלגברה, אלו שיש להם תכונות נוספות זכו לשמות מיוחדים.
- הומומורפיזם חד-חד ערכי נקרא שיכון או מונומורפיזם.
- הומומורפיזם על הוא אפימורפיזם.
- הומומורפיזם חד-חד ערכי ועל נקרא איזומורפיזם.
- הומומורפיזם מהמבנה אל עצמו נקרא אנדומורפיזם. (אנדו = פנימי)
- איזומורפיזם מהמבנה על עצמו נקרא אוטומורפיזם. (אוטו = עצמי)
אלגברה מופשטת | ||
---|---|---|
ענפים | אלגברה ליניארית • אלגברה בוליאנית • אלגברה דיפרנציאלית • אלגברה הומולוגית • גאומטריה אלגברית • טופולוגיה אלגברית • תורת גלואה • תורת החבורות • תורת החוגים • תורת המספרים האלגברית • תורת הקטגוריות • תורת השדות | |
מבנים אלגבריים | מאגמה • חבורה למחצה • מונואיד • חבורה • חבורה אַבּלִית • חוג • תחום שלמות • שדה • מודול • מרחב וקטורי • אלגברה (מבנה אלגברי) • אלגברת לי • אלגברת הקווטרניונים של המילטון • אלגברה לא אסוציאטיבית | |
מושגי יסוד | הומומורפיזם • משפטי האיזומורפיזם • תת-חבורה נורמלית • אידיאל • לוקליזציה • מכפלה טנזורית • הצגה ליניארית |